Enigme Somme de 3 nombres premiers valant 10000 @ Prise2Tete

shadock · #1

Il y a plusieurs années , dans un livre d'énigme, j'ai trouvé celle là, et aujourd'hui encore je m'en rappelle, car je n'y avais pas prêté attention.

La question est très simple:
La somme de 3 nombres premiers vaut 10000. Quel est le plus petit des 3 utilisé pour arriver à ce résultat?

La réponse est simple, pourtant elle n'est pas évidente pour tous, je vous laisse y réfléchir
Une justification peut-être la bienvenue

Spoiler : Question supplémentaire

EfCeBa · #2

Les nombres premiers sont tous impairs, sauf le nombre 2.
Pour obtenir 10000 avec 3 nombres premiers, il faut obligatoirement utiliser 2.

Sinon 2+9998 = 2+31+9967 = 10000 (via goldbach qui propose 98 autres solutions)

docbabar · #3

c'est le 2 car : 2+31+9967=10000

engine · #4

Je ne vois pas d'autres moyens que le tatonnement or j'y suis encore dans l'au-delà si je fais comme ça

cogito · #5

A part 2 tous les nombres premiers sont impair, or la somme de trois nombres impair est impair.
or 10000 est pair, donc forcément un des nombres premier est 2 et c'est le plus petit.
donc ensuite on cherche deux nombres premiers tels que leurs sommes est 9998, il existe car
la conjecture de Goldbach (http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach) a été vérifiée
pour tous les entiers pairs bien au delà de 10000, de plus il est fort
probable que la solution ne soit pas unique.
Par exemple :

2 31 9967
2 67 9931
2 97 9901
etc...

MthS-MlndN · #6

Si la conjecture de Goldbach est vraie, alors tout nombre pair plus grand que 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Dans ce cas, on peut écrire 10000=2+9998, et 9998 peut s'écrire comme la somme de deux premiers. 2 étant le plus petit premier, alors la réponse est 2.

Avec ou sans cette conjecture, si on décompose 10000 comme la somme de trois nombres, il y en aura forcément un au moins qui sera pair. Si on impose que ces trois nombres soient premiers, il faudra que le nombre 2 entre une et une seule fois dans cette somme.

Exemple : 4987 + 5011 + 2

J'ai écrit vite fait un petit programme Fortran qui a l'air de marcher (khihihi ^^) :

Code:

      program decompo2

         implicit none
         logical :: isprime
         integer :: n, compteur

        compteur = 0

         print*, 'Decomposition de 10000 comme somme de 3 premiers :'

         do n = 3, 4999, 2
            if(isprime(n).AND.isprime(9998-n)) then 
               print*, 2, ' + ', n, ' + ', 9998-n
               compteur = compteur + 1
            end if
         end do

         print*, compteur, ' decompositions differentes.'

      end program



      logical function isprime(n) result(isprimeval)

         implicit none
         integer, intent(in) :: n
         integer :: i

         isprimeval = .TRUE.

         do i=3, int(sqrt(real(n))), 2
            if(n - (n/i)*i == 0) isprimeval = .FALSE.
         end do

      end function isprime

(P**ain... n - (n/i)*i, ça vaut mod(n,i). Comment réinventer la poudre. Mon prof d'info me flagellerait s'il voyait ça )

Ca me donne :

Code:

 Decomposition de 10000 comme somme de 3 premiers :
           2  +           31  +         9967
           2  +           67  +         9931
           2  +           97  +         9901
           2  +          127  +         9871
           2  +          139  +         9859
           2  +          181  +         9817
           2  +          211  +         9787
           2  +          229  +         9769
           2  +          277  +         9721
           2  +          337  +         9661
           2  +          349  +         9649
           2  +          367  +         9631
           2  +          379  +         9619
           2  +          397  +         9601
           2  +          487  +         9511
           2  +          577  +         9421
           2  +          601  +         9397
           2  +          607  +         9391
           2  +          661  +         9337
           2  +          757  +         9241
           2  +          811  +         9187
           2  +          907  +         9091
           2  +          991  +         9007
           2  +          997  +         9001
           2  +         1069  +         8929
           2  +         1237  +         8761
           2  +         1279  +         8719
           2  +         1291  +         8707
           2  +         1321  +         8677
           2  +         1399  +         8599
           2  +         1459  +         8539
           2  +         1471  +         8527
           2  +         1531  +         8467
           2  +         1567  +         8431
           2  +         1579  +         8419
           2  +         1609  +         8389
           2  +         1621  +         8377
           2  +         1669  +         8329
           2  +         1777  +         8221
           2  +         1789  +         8209
           2  +         1831  +         8167
           2  +         1987  +         8011
           2  +         2131  +         7867
           2  +         2239  +         7759
           2  +         2281  +         7717
           2  +         2311  +         7687
           2  +         2377  +         7621
           2  +         2437  +         7561
           2  +         2521  +         7477
           2  +         2539  +         7459
           2  +         2647  +         7351
           2  +         2677  +         7321
           2  +         2689  +         7309
           2  +         2791  +         7207
           2  +         2971  +         7027
           2  +         3001  +         6997
           2  +         3037  +         6961
           2  +         3049  +         6949
           2  +         3169  +         6829
           2  +         3217  +         6781
           2  +         3307  +         6691
           2  +         3319  +         6679
           2  +         3361  +         6637
           2  +         3391  +         6607
           2  +         3469  +         6529
           2  +         3517  +         6481
           2  +         3529  +         6469
           2  +         3547  +         6451
           2  +         3571  +         6427
           2  +         3631  +         6367
           2  +         3637  +         6361
           2  +         3697  +         6301
           2  +         3727  +         6271
           2  +         3769  +         6229
           2  +         3847  +         6151
           2  +         3877  +         6121
           2  +         3907  +         6091
           2  +         3919  +         6079
           2  +         3931  +         6067
           2  +         4129  +         5869
           2  +         4159  +         5839
           2  +         4177  +         5821
           2  +         4219  +         5779
           2  +         4261  +         5737
           2  +         4297  +         5701
           2  +         4339  +         5659
           2  +         4357  +         5641
           2  +         4441  +         5557
           2  +         4519  +         5479
           2  +         4549  +         5449
           2  +         4561  +         5437
           2  +         4567  +         5431
           2  +         4591  +         5407
           2  +         4651  +         5347
           2  +         4789  +         5209
           2  +         4801  +         5197
           2  +         4831  +         5167
           2  +         4987  +         5011
           2  +         4999  +         4999
          99  decompositions differentes.

Yep, 99 combinaisons différentes, apparemment (98 si on interdit d'avoir deux fois le même nombre dans la somme)

Mathix · #7

Prenons deux nombres premiers distincts de 2. Ils sont donc impairs et leur somme est pair.
Or 10 000 est pair, il faut donc un troisième nombre pair pour que la somme soit pair. Le seul nombre premier pair est 2, 2 est donc le plus petit nombre premier.

gabrielduflot · #8

deja 2 est dans la somme car sinon la somme de 3 entiers impairs est impair
maintenant il faut trouver 2 nombres premiers dont la somme est 999998
ces nombres ne peuvent pas être égal à 2 mod (3) sinon l'autre nombre serait divisible par 3

donc ces nombres sont égaux à 1 mod (3) et ces nombres ne doivent pas être pairs donc ces nombres sont égaux à 1 mod (6) et premier
7 ne marche pas
13 ne marche pas
19 ne marche pas
31 marche avec 9967

donc 2+31+9967=10000

Papy04 · #9

La somme de 3 nombres premiers est toujours un nombre impair sauf si le 2 fait partie du lot. Ce sera donc forcément lui le plus petit des trois.
9967, 31 et 2 font 10000, mais il y a sans doute d'autres solutions

Lagaway · #10

Bonjour,

Les nombres premiers sont par définitions impairs... sauf bien sûr le 2.

la somme de deux nombres premiers (strictements supérieurs à 2) est paire
Si on y additionne un troisième nombre premier (strictements supérieurs à 2), on obtient un nombre impair...

Donc le seul moyen d'obtenir 10000 en additionnant trois nombres premiers est d'utiliser le nombre 2.

Les solutions utilisants le nombre 1 sont rapidement écartées :
1 + 2 + 9997 -> pas bon car 9997 divisible par 13
1 + 1 + 9998 -> pas bon car 9998 divisible par 2

Il faut ensuite décomposer 9998 est une somme de 2 nombres premiers :

on suit le filon du 2 et on remarque que 2 x 4449 = 9998 !!!
Soit encore 4449 + 4449 = 9998

On peut donc écrire 10000 = 2 + 4999 + 4999

PS: l'énoncé ne précise pas si les trois nombres premiers doivent être différents.

McFlambi · #11

c'est 2 pour la parite, les deux autres premiers seront impairs...

Bobino · #12

997+2+1+ 1000

Yanyan · #13

Une somme de trois nombres impairs est impair.Or 10000 est pair donc nécessairement 2 est dans cette somme,2 étant le plus petit nombre premier c'est fini.

9998 = 31    + 9967
9998 = 67    + 9931
9998 = 97    + 9901
9998 = 127    + 9871
9998 = 139    + 9859
9998 = 181    + 9817
9998 = 211    + 9787
9998 = 229    + 9769
9998 = 277    + 9721
9998 = 337    + 9661

sofox · #14

je viens de modifier mon message : en effet, quand je réponds, mon message apparaît, alors que pour les autres posts, il y a marqué " réponse cachée 60 h"

schaff60 · #15

S'il existe, ce ne peut être que 2, puisque la somme de 3 nombres impairs ne fera jamais 10000.

Un petit coup d'excel et on a 99 couples de somme 9998 : à noter , surlignés, la présence de 3 nombres premiers consécutifs dans cette liste

31 9967 1621 8377 3727 6271 1279 8719 4261 5737
67 9931 1669 8329 3769 6229 1291 8707 4297 5701
97 9901 1777 8221 3847 6151 1321 8677 4339 5659
127 9871 1789 8209 3877 6121 1399 8599 4357 5641
139 9859 1831 8167 3907 6091 1459 8539 4441 5557
181 9817 1987 8011 3919 6079 1471 8527 4519 5479
211 9787 2131 7867 3931 6067 1531 8467 4549 5449
229 9769 2239 7759 4129 5869 2647 7351 4561 5437
277 9721 2281 7717 4159 5839 2677 7321 4567 5431
337 9661 2311 7687 4177 5821 2689 7309 4591 5407
349 9649 2377 7621 4219 5779 2791 7207 4651 5347
367 9631 2437 7561 607 9391 2971 7027 4789 5209
379 9619 2521 7477 661 9337 3001 6997 4801 5197
397 9601 2539 7459 757 9241 3037 6961 4831 5167
487 9511 3529 6469 811 9187 3049 6949 4987 5011
577 9421 3547 6451 907 9091 3169 6829 4999 4999
601 9397 3571 6427 991 9007 3217 6781 3391 6607
1567 8431 3631 6367 997 9001 3307 6691 3469 6529
1579 8419 3637 6361 1069 8929 3319 6679 3517 6481
1609 8389 3697 6301 1237 8761 3361 6637

Fireblade · #16

Évidemment le plus petit est 2 car tous les autres nombres premiers sont impairs, donc la somme des deux premiers donne un nombre pair.
Pour le reste il suffit de lancer un programme avec 2 et p premier inférieur à racine de 500. Ainsi si 1000-2-p est premier on a une décomposition.

Edit : la conjecture de Goldbach (tout nombre pair s'écrit comme somme de deux nombres premiers) n'est toujours pas démontrée mais elle est vérifiée pour des entiers pairs suffisamment grand pour inclure 998.

On trouve par exemple
1000=2+7+991
1000=2+31+967
1000=2+61+937
1000=2+79+919
1000=2+139+859
1000=2+211+787
1000=2+241+757
1000=2+271+727
1000=2+307+691
1000=2+337+661
1000=2+367+631
1000=2+379+619
1000=2+397+601
1000=2+421+577
1000=2+457+541
1000=2+499+499

Soit 16 possibilités

scrablor · #17

L'observation de la parité donne bien sûr p1=2.
Le choix de 10000 vient peut-être du fait que 4999 est premier et qu'on a donc :
2+4999+4999=10000.
Mais aussi, en se contentant d'une lecture manuelle :
2+31+9967=10000
Mes deux exemples donnent les valeurs extrêmes du produit des trois premiers utilisés :
2*31*9967=617954 & 2*4999²=49980002.

dhrm77 · #18

bien vu...
2 evidement...
puisque tous les nombres premiers sauf 1, le 2 sont impairs. il est evident qu'il faut que 2 soit dans la liste pour avoir une somme paire avec 3 nombres premiers.

luthin · #19

1) Pour que la somme de trois nombres soit pair, il faut qu'au moins un de ces nombres soit pair.
2) Le seul nombre premier qui soit pair est 2.
3) Le plus petit nombre premier est 2.

10 000 étant un nombre pair, des trois précédentes remarques, on en déduit que la réponse à ta première question est 2.

Ta question bonus m'amène à m'en poser d'autres:

1) Pour un entier n quelconque, peut-on toujours trouver deux nombres premiers p et q tels que: n = p+q?
--> La réponse est non et 11 est un contre exemple.

2) Quand elle existe, cette décomposition est-elle unique?
--> La réponse est non et 10 en est un contre exemple (10=5+5=7+3).

3) Comment trouver ("facilement") l'ensemble des couples (p, q) qui permettent de faire la décomposition?
--> Je ne sais pas (à part faire un code qui teste toutes les possibilités)!

Pour ton cas, on a: 10 000 = 2+p+q.
Soit: 9998=2*4999=p+q, où 2 et 4999 sont premiers.
Il suffit alors de prendre: p=q=4999 pour trouver une solution à ta question bonus.
Pour les éventuelles autres solutions, j'ai la flemme de faire un code! Tu vas bien nous en faire un en C (... qui marche)?

gwen27 · #20

2 est le plus petit utilisé.

La somme de trois nombres impairs étant impaire, pour arriver à 10000, l'un des nombres doit être premier et pair, seul 2 répond à cette condition.

1 pourrait être plus petit encore mais 9997 n'étant pas premier, le 1 n'est pas utilisé.

shadock · #21

1 n'est pas un ou plus considéré comme premier

MthS-MlndN · #22

J'ai complété ma réponse précédente, mais je reposte juste pour le plaisir : un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs, ce qui chasse 1 du clan des nombres premiers. Pourquoi faire ? Parce que sinon, la décomposition d'un rationnel en produit de nombres premiers n'est plus unique. C'est bête, hein ?

Klimrod · #23

Très facile, mais très astucieux :
La somme de trois nombres ne peut être paire que si au moins l'un des nombres est pair.
Or le seul nombre premier pair est 2.
Et comme c'est le nombre premier le plus petit, la réponse est donc 2.

shadock · #24

Que des bonnes réponses pour le moment et félicitations à Mathias qui a une réponse parfaite, polie, lustrée, claire, précise, avec ça touche personnelle de programmation

scarta · #25

Un nombre premier est soit pair, soit impair.
Trois nombres impairs additionnés ne peuvent donner un résultat pair, donc l'un au moins est pair. Or, le seul nombre premier pair est 2, et c'est par ailleurs le plus petit nombre premier, donc quels que soient les 2 autres, ils sont forcément supérieurs à 2.
Le plus petit des 3 (à supposer qu'ils existent) est donc 2.

Si jamais on voulait aussi vérifier que de tels nombres premiers existent, on partirait de 9998 en décroissant, et pour chaque nombre premier on vérifierait si 9998-p est aussi premier. Ça se trouve assez vite: 9967 + 31 + 2 = 10000

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#1 - 31-10-2010 21:32:20

somme de 3 nombres premiers vamant 10000

#0 Pub

#2 - 31-10-2010 21:42:11

somme de 3 nombres premierd valant 10000

#3 - 31-10-2010 21:55:42

Sommme de 3 nombres premiers valant 10000

#4 - 31-10-2010 22:00:26

somme de 3 nombres premiers vzlant 10000

#5 - 31-10-2010 22:03:59

Somme de 3 nombres premiers valant 1000

#6 - 31-10-2010 22:22:24

Somme de 3 nombres premiers vaalnt 10000

Code:

Code:

#7 - 31-10-2010 23:07:41

Somme de 3 nombres premiers valan t10000

#8 - 31-10-2010 23:12:26

somme de 3 nombres premirrs valant 10000

#9 - 31-10-2010 23:27:55

omme de 3 nombres premiers valant 10000

#10 - 01-11-2010 01:28:40

Somme de 3 nombres premiesr valant 10000

#11 - 01-11-2010 02:39:35

Somme de 3 nombres premiers valat 10000

#12 - 01-11-2010 04:37:27

somme se 3 nombres premiers valant 10000

#13 - 01-11-2010 07:34:13

Somme de 3 nombres premiers vaalant 10000

#14 - 01-11-2010 08:11:11

somme de 3 nombres przmiers valant 10000

#15 - 01-11-2010 08:22:15

Somme de 3 nombrres premiers valant 10000

#16 - 01-11-2010 08:43:20

Somme de 3 nombres premiers valat 10000

#17 - 01-11-2010 09:07:54

Somme de 3 nombers premiers valant 10000

#18 - 01-11-2010 12:08:24

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#19 - 01-11-2010 15:15:26

Somme de 3 nombres premiers valant 01000

#20 - 01-11-2010 17:16:36

oSmme de 3 nombres premiers valant 10000

#21 - 01-11-2010 17:54:45

somme de 3 nombres premirrs valant 10000

#22 - 01-11-2010 18:52:20

Somme de 3 nombrees premiers valant 10000

#23 - 01-11-2010 21:15:17

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#24 - 01-11-2010 21:31:41

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#25 - 01-11-2010 23:09:06

Somme de 3 nombres premiers vvalant 10000

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