Soit A et B les points d'intersection du cercle et d'une des deux droites, C le centre du cercle et $\alpha$ l'angle ACB.
Il faut trouver $\alpha$ tel que :
$$\pi R^2\frac{\alpha}{360}- sin(\frac{\alpha}{2}) cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{\pi R^2}{3}$$
ou écrit autrement avec R=1:
$$\pi (\frac{\alpha}{360}- \frac{1}{3})=sin(\frac{\alpha}{2}) cos(\frac{\alpha}{2})$$
tant qu'à faire isolons $\alpha$. Avec un peu de chance, on aura une formule par récurrence qui converge.
$$\alpha= 360(\frac{sin(\frac{\alpha}{2}) cos(\frac{\alpha}{2})}{\pi }+\frac{1}{3})$$
Crotte!, ça diverge et j'ai pas envie d'inverser le bazar.

Je verrai ça plus tard...

Après vérification, il semble que les formules avec Arccos et Arcsin divergent aussi.

@toni77 : Ok ! Mais il me faut une preuve mathématique... Montrer sur un dessin ou sur une machine n'est pas une preuve en soi

L'indication sert à ne pas tracer n'importe comment les droites parallèles... Comme ça par exemple

Pour le cercle unité (r=1), la partie hachurée d'angle x a pour surface A
$$A= x/2 - sin(x/2) cos(x/2)= \frac{1}{2}[x- sin(x)]$$
x est donc la solution de $\frac{2}{3}\pi=x-sin(x)$
Wolfram nous donne x ~~ 2.605325674600903...
la droite se trouve donc a sin(pi/2-x/2)=0.2649 du centre.

Il y a déjà des bonnes réponses (Bravo à franck9525 et à toni77) Les autres vous pouvez continuer à chercher !