Chaque nouvelle tentative est une Bernoulli indépendante de toutes les précédentes.
Soit p le paramètre de succès.
On a par hypothèse (1-p)*(1-p)*p=0.096
Donc, environ p=0.125

L'énoncé n'est pas ambigu mais peut être compris de différentes façons ...

Appelons p la probabilité de réussir son permis quand on le passe.

9,6% est le pourcentage de chance d'avoir le permis exactement au 3ème coup (c'est ce que je comprends), dans ce cas, il faut l'avoir raté 2 fois et réussi ensuite, soit 9,6% = (1-p)(1-p)p, soit p=1/8

9,6% est le probabilité d'avoir réussi son permis au bout de 3 tentatives (ce n'est pas ce que je comprends), dans ce cas, 9,6% = p+p(1-p)+p(1-p)(1-p), soit p=1/30

Les maths, notamment les probabilités, ne sont plus ma spécialité, mais je m'y essaye tout de même.

De l'énoncé, je comprends que le résultat de sa tentative est indépendante des précédentes.
Il a donc x% de chances de réussir son permis à chaque tentative.
Toutefois, s'il va jusqu'au 2ème ou 3ème coup, c'est qu'il ne l'a pas eu avant.

Je dirais donc que l'on cherche x tel que :
(1-x)*(1-x)*x = 0,96

C'est le "Goal Seek" d'Excel qui le résout en 12%.

Je dirais donc qu'il a 12% de chances de réussir son permis du 1er coup.

Soit p la probabilité de réussir son permis (identique quel que soit le nombre d'essais, comme le précise l'énoncé). On a :

(1-p)² * p = 96/1000 = probabilité de réussir au 3e essai avec (1-p) la probabilité de rater son permis. Dans l'expression ci-dessus, on retrouve donc la probabilité de rater deux fois de suite multipliée par la probabilité de réussir au troisième essai.

En résolvant l'équation, on trouve 3 solutions : {0,126 ; 0,6 ; 1,274}.
La troisième solution est impossible pour le présent problème, vu qu'elle est supérieure à 1. Les deux autres solutions sont possibles mais ont une interprétation différente :

* 0,6 : On a 6 chances du 10 de réussir du premier coup, donc 4/10 * 4/10 * 6/10 = 96/1000 de réussir du troisième coup. Cette réponse correspond à la situation ou réussir est plus facile que rater son permis.

* 0,126 : On n'a que 0,126 chance de réussi du premier coup, donc 0,874 * 0,874 * 0,126 de réussir du troisième coup. Cette réponse correspond à la situation où la probabilité d'échec est importante!