La définition purement algébrique du nombre complexe est, je pense, une définition a posteriori. Les complexes ne sont pas nés grâce a quelqu'un qui s'est dit "eh, et si on disait que (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc) ?"

La définition algébrique permet de démontrer bien plus facilement les propriétés essentielles des nombres complexes (mes élèves de premier année de prépa ont eu un super-exercice la-dessus ) mais, dans le sens où ce n'est pas la façon dont ça a été "intuité" au départ, ce n'est peut-être pas non plus la meilleure façon d'aborder la notion de nombre complexe ?

Sophus Lie a dit:"Si la vie est complexe, c'est parce qu'elle a une partie réelle et une partie imaginaire."