Et une bonne réponse, une.

Ouf !!!
J'ai enfin réussi, le triangle est rectangle en A et les valeurs sont :
R=58
BC=116
AB=84
AC=80

J'ai tellement galéré sur les formules, avant de me rendre compte que je faisais à un moment une simplification par R-58 (qui est donc nul !) et j'arrivais à une impossibilité ...

Pour info, Jack, la formule que je t'ai donnée en MP était bien juste

Pour ma démo, j'ai une méthode qui à mon avis est bien bourrine :

J'utilise les angles droits des médiatrices pour trouver les relations :
[TeX]x^2=16r_x(R-r_x)[/latex] où x prend les valeurs a,b,c. (a=BC, b=AC, c=AB et ra=29,rb=8,rc=9)

Puis avec la formule d'Al-Kashi, [latex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat A)[/latex], avec [latex]cos(\hat A) = \frac{R-2r_a}{R}[/TeX]
J'obtiens :
[TeX](96R+bc)(R-58)=0[/TeX]
Donc nécessairement R=58.
Les autres valeurs se déduisent facilement

Que rajouter au dessin d'halloduda  et au calcul de LOOping ? Bravo à tous les 2.
Le fait que toutes les valeurs étaient entières devait faire penser aux triplets de Pythagore, ce que venait confirmer le deuxième indice : si le triangle n'était pas quelconque, il ne pouvait pas être isocèle ou équilatéral car il n'y avait pas 2 rayons identiques ; il était donc rectangle, et à partir de là les calculs devenaient simplissimes.