Je n'arrive pas à ouvrir les images du gâteau 2, comment les parts sont elles prises ? Parmi les 2 disponibles (de part et d'autre du vide) ou n'importe lesquelles ?

Même surface.

Les triangles issus de face opposées ont la même base pour la même somme des hauteurs.

Avec une petite nuance si n/2 est impair, on utilise alors :

Dans un polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur au polygone aux côtés2 du polygone est indépendante de la position du point.

Il suffit alors pour le prouver de tracer les deux triangles identiques utilisant 3 faces non consécutives pour un hexagone,  les deux pentagones identiques utilisant 5 faces non consécutives pour un décagone ...

Il apparaît clairement que si on prend sur une diagonale longue, les quantités sont égales. Pour commencer, penchons nous sur le carré. Si on prend sur un côté on voit que les portions sont égales. Dans le cas général c'est aussi valable. Sufit de regarder les triangles qui sont opposés les uns aux autres à gauche et à droite du côté sur lequel se trouve le point de coupe. Idem pour les segments reliant les milieux de côtés opposés
Voyons à l'intérieur du carré. On note x,y les coordonnées du point, avec 0,0 et a,a les coordonnées du carré. Quelque soit x, on remarque que les triangles opposés additionnés ont la même aire. Idem pour y. Ok, c'est statué.

Voyons dans le cas général. On note A1.... A2n les côtés du polygone. On note Ta1 le triangle de A1
On travaille sur A1 pour le moment. Si on déplace le point parallèlement au côté, on remarque que l'aire de Ta1 + Ta(n+1) est constante. Idem pour un déplacement perpendiculaire, car la somme des hauteurs ne varie pas. On généralise à tous les côtés. Ainsi, quelque soit la place du point, la somme de deux triangles opposés est constante. Or, celle-ci est égale à 1/n (position centrale)
Ainsi on a deux cas: si n est pair, l'air est la même pour les deux types de parts.

Sinon... il faudrait que la somme des distances du point aux côtés A(2k) soit constante... Alors là je sèche...

Nodgim , il faut prouver

Vasimolo

Hello !

Déjà si le polygone à un nombre impair de côtés il y aura toujours un des deux lésé pour la simple et bonne raison qu'on ne peut pas en un coup de couteau, partager en deux ce genre de gâteau en rejoignant deux sommets. Il y en aura donc toujours un avec une part plus grande que l'autre.

Ensuite je dirai qu'aucun des deux n'est gagnant si le gâteau a un nombre pair de sommets. Mais je n'ai pas encore trouver le bon argument, s'il existe, de symétrie.

Affaire à suivre...

Shadock

salut
et tous mes bons vœux pour les années à venir .


pour les gâteaux , les deux enfants se partagent un gateau en polygone régulier à 4n côtés  ils auront donc la même quantité de gâteaux .
en effet , si c est le côté du polygone  et H , la distance entre 2 côtés opposés , alors l'aire du gateau est  :

A = c/2 x 4H  et chacun des enfants en aura la moitié .

par contre , si le polygone est un hexagone ou plus généralement un polygone régulier à  2n côtés avec n impair , alors le plus mal servi aura donc choisi la plus petite hauteur h1  et son copain aura la plus grosse part avec une hauteur H-h1

On prend tous les côtés impairs; on forme un nouveau poylgone. Si on place un point dedans, normalement, comme le polygone est régulier, la somme des hauteurs est toujours la même. Ainsi l'aire des triangles ne varie pas, et c'est égal à la moitié de l'aire du polygone

Bonne année !

Peu importe comment on déplace le point sur le gâteau, ce que l'on perd sur une part est gagné par son opposée.

Pour s'en convaincre il suffit de tracer un des axes de symétrie de la figure passants par 2 sommets puis de jouer au tangram dans les 2 demi-figures ainsi formées

Les deux enfants repartiront donc toujours avec une moitié de gâteau chacun

On forme un nouveau polygone en prolongant les côtés pairs, comme la propriété est vraie à l'intérieur du polygone à n côtés, elle est vraie aussi à l'intérieur du polygone à 2n côtés

Y a une histoire de symétrie là dedans, comme disait mon prof de Terminale.

Le point excentré donnera le même résultat pour 2n autres points du polygone (il suffit de tourner le polygone 2n fois pour s'en convaincre). Or, si on prend le symétrique du point excentré par rapport au centre, ce symétrique fait partie des 2n points, il y a non changement de répartition. Mais si on dessine ce symétrique, qu'on rejoint les angles du polygone, par symétrie les triangles rouges et jaunes diamétralement opposés échangent leur aire. Or c'est le même résultat que si on avait tourné le polygone de 180 degrés, mais avec les couleurs inversées: il y a donc égalité des aires.

Oui c'est vrai on peut faire plus concis:
Si on intervertit les couleurs ou si on tourne le polygone de 180 degrés, on a la même figure à la symétrie près.