Nombre cyclique :
142857 !

bravo a vous 2!!
expliquez votre raisonnement!

142857.

Cf tout ça.

C'est bien connu, il s'agit de 999999/7=142857.

oui Mths éffectivement je m'en rend compte! et pour le pré t'en est ou?

@thedoums : toujours au même point, je cherche la subtilité qui m'échappe. Si j'en étais plus loin, j'aurais modifié mon post sur le topic...

Je me permets de corriger un petit quelque chose : on cherche un nombre ici, pas un chiffre. (Je n'arrête pas de l'expliquer : un chiffre est un caractère d'écriture ; en gros, le chiffre est au nombre ce que la lettre est au mot.)

Le titre de l'énigme était "Le chiffre magique!". Je l'ai donc changé.

Amicalement aussi.

142857
facile quand on connait 1/7

Je Propose

142857

Commençons par imaginer les cinq multiples de ABCDEF, en sachant que ceux-ci font six chiffres.
Les plus petits multiples étant ABCDEFx2, ABCDEFx3, ABCDEFx4, ABCDEFx5, et ABCDEFx6. on en déuit que A=1 (dans le cas contraire, ABCDEFx5 dépasserait le million, et ferait sept chiffres).

En utilisant ces facteurs multiplicateurs, le plus grand de ces cinq multiples serait ABCDEFx6. Qui doit faire six chiffres.
Or, 987651 (le plus grand nombre possible qui serait le multiple de ABCDEFx6) divisé par 6 nous donne 164608,5.
Donc, ABCDEF<=164598 (les six chiffres composant ABCDEF étant différents entre eux).
Et ainsi, B<=6.

De même, la plus petite valeur de ABCDEF est 123456.
Or, 123456x9 dépasse le million, et compte donc sept chiffres.
Donc les multiples de ABCDEF que nous cherchons, sont tous de multiples de 2 à 8.

Imaginons ensuite que F soit pair (2, 4, 6 ou 8).
Dans ce cas, tous ces multiples le seraient également (le multiple d'un nombre pair étant toujours pair). Ils finiraient donc tous par 2, 4, 6 ou 8, ce qui est impossible car BCDEFA finit par 1.
On en conclut donc que F est impair.

Ajoutons que, sachant que F est impair, si F était égal à 5, cela impliquerait que tous ses multiples finissent par 0 ou 5, ce qui est impossible (un seul 5 autorisé, et pas de 0). Donc, F est dans {3;7;9}.


Considérons les trois cas, F=3, F=7 et F=9, avec les multiples de 2 à 8.
- si F=3 :
    ABCDEFx2 finit par 6
    ABCDEFx3 finit par 9
    ABCDEFx4 finit par 2
    ABCDEFx5 finit par 5
    ABCDEFx6 finit par 8
    ABCDEFx7 finit par 1
    ABCDEFx8 finit par 4
- si F=7 :
    ABCDEFx2 finit par 4
    ABCDEFx3 finit par 1
    ABCDEFx4 finit par 8
    ABCDEFx5 finit par 5
    ABCDEFx6 finit par 2
    ABCDEFx7 finit par 9
    ABCDEFx8 finit par 6
- si F=9 :
    ABCDEFx2 finit par 8
    ABCDEFx3 finit par 7
    ABCDEFx4 finit par 6
    ABCDEFx5 finit par 5
    ABCDEFx6 finit par 4
    ABCDEFx7 finit par 3
    ABCDEFx8 finit par 2

Or, on sait que A=1, donc un de ces multiples doit finir par 1. Ce qui n'est pas le cas avec F=9. F est donc dans {3;7}.
On remarque que dans ces deux derniers cas, les multiples possibles finissent toujours par 1, 2, 4, 5, 6, 8 ou 9.
Ayant A=1, et F dans {3, 7}, les valeurs possibles pour B, C, D et E sont donc dans {2;4;5;6;8;9}, toujours avec B<=6.

Penchons-nous sur le cas F=3 :
Le multiple BCDEFA qui finit par 1, est égal à ABCDEFx7.
Avec ce que nous avons déjà déterminé, la plus grande valeur possible pour BCDEFA est 698531. Or, 698531/7 fait moins de six chiffres. Donc F ne peut pas valoir 3. Ainsi F=7.

On sait donc que le multiple BCDEFA finit par 71, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1BCDE7x3=BCDE71.
Quelle valeur E7, multipliée par 3, peut nous donner un entier finissant par 71 ? On teste avec les six valeurs {2;4;5;6;8;9} possibles pour E, et on trouve une seule possibilité : 57x3=171. Donc E=5.

De même :
On sait que le multiple BCDEFA finit par 571, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1BCD57x3=BCD571.
Quelle valeur D57, multipliée par 3, peut nous donner un entier finissant par 571 ? On teste avec les cinq valeurs {2;4;6;8;9} possibles pour D, et on trouve une seule possibilité : 857x3=2571.
Donc D=8.

On continue sur la même démarche :
On sait que le multiple BCDEFA finit par 8571, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1BC857x3=BC8571.
Quelle valeur C857, multipliée par 3, peut nous donner un entier finissant par 8571 ? On teste avec les quatre valeurs {2;4;6;9} possibles pour C, et on trouve une seule possibilité : 2857x3=8571.
Donc C=2.

Enfin, toujours avec la même méthode :
On sait que le multiple BCDEFA finit par 28571, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1B2857x3=B28571.
Quelle valeur 1B2857, multipliée par 3, peut nous donner un entier de la forme B28571 ? On teste avec les deux valeurs {4;6} possibles pour B (on rappelle que B<=6, donc on exclut 9), et on trouve une seule possibilité : 142857x3=428571.
Donc B=4.

On trouve donc que ABCDEF=142857, avec :
142857x3 = 428571 = BCDEFA
142857x2 = 285714 = CDEFAB
142857x6 = 857142 = DEFABC
142857x4 = 571428 = EFABCD
142857x5 = 714285 = FABCDE


Bon j'ai fait très long, vous m'en excuserez, mais je tenais à la résoudre sans faire péter les cryptarithmes sur dcode.
Et je ne regrette pas, j'ai adoré !

La démonstration du Singe est tout simplement superbe. Bravo, mon gars. Je suis ébahi.

effectivement démonstration au top! Je n'aurais pas fais mieux...