Enigme Déplacement sur une portion de grille @ Prise2Tete

toni77 · #1

Le site où j'ai trouvé l'enigme propose une réponse qui n'est pas la mienne...
Donc, j'attends une réponse, et une démonstration.

Je vous proposerai ma démonstration également à la fin, histoire de voir où je me suis planté

gasole · #2

mmhhh processus markovien... matrice markovienne 15x15... à la puissance 9... bon, on verra plus tard.

gasole · #3

même à la main, ça va être fastidieux de propager ces probabilités de case en case... demain peut être

irmo322 · #4

A chaque case, j'associe sa distance par rapport au centre. Celle-ci va de 0 pour la case du centre à 3 pour les 8 cases extrémales.

Soit P(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en un coup. (On peut se permettre cette méthode car le tablier est symétrique)
Alors:
P(0,1)=1 , P(1,2)=2/3 , P(2,3)=2/3 ,
P(1,0)=1/3 , P(2,1)=1/3 , P(3,2)=1 .

Soit Q(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en 2 coups.
Alors:
Q(0,0)=1/3 , Q(0,2)=2/3 ,
Q(2,0)=1/9 , Q(2,2)=8/9 .

Soit R(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en 4 coups.
Alors:
R(0,0)=15/81 , R(0,2)=66/81 ,
R(2,0)=11/81 , R(2,2)=70/81 .
Pour calculer R, on peut faire les calculs à la main ou considérer Q et R comme des matrices (alors R=Q²).

Soit S(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en 8 coups.
Alors:
S(0,0)=951/6561 , S(0,2)=5610/6561 ,
S(2,0)=935/6561 , S(2,2)=5626/6561 .
(J'ai calculé S par S=R²).

L'important ici est S(0,2). On a 5610 chances sur 6561 d'être à distance de 2 au 8ème coup.
On en déduit qu'on a une proba de (5610/6561)*(2/3) d'être à distance de 3 au 9ème coup.

Comme le problème est symétrique et que 8 cases sont à une distance de 3, on a donc que la proba d'être sur la case marquée d'une croix au bout de 9 coups est de:
(5610/6561)*(2/3)*(1/8)
=11220/157464
=935/13122

Ce problème est intéressant mais finalement très calculatoire une fois la méthode comprise.

gasole · #5

Bon, avec l'aide de scilab, je trouve : 443/13122, soit environ 0.0337601.

Explication (plus d'info ici) :

soit [latex]x_i[/latex] une variable aléatoire, telle que [latex]x_i = j[/latex] signifie "se trouver en [latex]j[/latex] à l'étape [latex]i[/latex]"

soit P la matrice 15x15 telle que [latex]P(i,j) = P(x_1 = j | x_0 = i)[/latex] (probabilité de se trouver en [latex]j[/latex] à l'étape 1 sachant qu'on était en [latex]i[/latex] à l'étape 0.

on montre par récurrence que [latex]P^n(i,j) = P(x_n = j | x_0 = i)[/latex], et ce qui nous intéresse est donc [latex]p = P^{9}(i_0,j_0)[/latex] où [latex]i_0[/latex] et [latex]j_0[/latex] désigne respectivement la case de départ et celle d'arrivée.

on calcule [latex]P^9[/latex], et on tire [latex]p = \frac{935}{13122}[/latex] (merci pour la correction de la matrice).

Pour info, voici ma matrice P (en fait 6*P pour éviter les décimales) sachant que j'ai numéroté les cases de gauche à droite et de haut en bas, de 1 à 15, ce qui m'importe à la fin est [latex]P^9(8,1)[/latex] :

-->6*P =

0. 0. 0. 6. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 6. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 6. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
2. 0. 2. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 2. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 6. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 0. 3. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 2. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 2. 0. 2.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6. 0. 0. 0.

gwen27 · #6

136 chances sur 1968 soit 6,91 % de chances

Promath- · #7

935/13122
est ma reponse!
Je ne sais pas trop mais je sais que
http://homepage.hispeed.ch/FSJM/documen … nses_F.pdf
mais quelle est ta reponse?

toni77 · #8

Bonjour et merci pour vos réponses.
J'ai procédé comme Irmo avec des matrices 4x4, vu la symétrie du problème, au lieu d'utiliser des matrices de transition 15x15.
J'ai donc trouvé une proba de 3740/6561, mais pour la zone située à distance 3.

J'ai oublié de diviser par 8, ce qui donne le bon résultat,à savoir 935/13122 !!!!!

C'est un problème ffjm, il y a les feuilles de résultats. Mais j'essaye toujours de le faire avant. La en l'occurence je ne comprenais pas trop pourquoi j'étais si loin du résultat !

Merci à tous pour votre participation !

toni77 · #9

Gasole, ton erreur vient surement du fait qu'un coeff de ta matrice est mal placé.
A savoir que tu devrais avoir P(1,4)=6 et P(1,5)=0, et non l'inverse.

gwen27 · #10

Juste pour savoir, pourquoi ça ne marche pas comme ça ?

Parce que avec le résultat de 0,03... multiplié par 8 + celui d'une case adjacente au point de départ (multiplié par 2) , Je n'arrive pas à 100 %.

toni77 · #11

Gwen, cela ne marche pas deja lors du passage du 2 au 3
La case du milieu débouche sur l'une des deux à coté avec proba 1/2
Tandis que les 1 donnent des 1/3 pour les trois cases voisines
Or toi tu affectes à chaque fois le coeff 1.
Je ne sais pas si c'est clair...

gwen27 · #12

Non, ce n'est pas clair. A chaque étape, je compte les possibilités d'arriver dans chaque case. Pas de proba, juste des sommes.

Etape 3 : A partir des 8 possibilités de placement du point à l'étape 2 , il y a 16 possibilités de placement à l'étape 3, toutes équiprobables. Simplement, 4 d'entre elles tombent dans la même case.

En faisant un arbre de tous les déplacements possibles en trois mouvements, je tombe pile poil sur le même compte

gasole · #13

Exact Toni... chuis pas doué pour ce qui requiert de la méticulosité

maintenant, à la main, j'aurais pas fait comme ça, j'aurais propagé les probas de case en case (ça permet au-delà de certaines étapes de négliger celles qui sont trop loin).

MthS-MlndN · #14

@Gwen : d'une part, tes 4 dans la grille 3 auraient dû être des 6 (je pense). D'autre part, et c'est de loin le plus important, tu ne cherches pas a calculer la bonne proba.

La proba demandée est "en partant de telle case, quelle est la proba d'arriver a la case en plein milieu après neuf coups ?"

Celle que tu calcules est "sachant qu'on est arrivé au centre après neuf coups, quelle est la proba qu'on soit parti de telle case ?"

gwen27 · #15

Bon, je crois que je commence à comprendre , mais ça me dépasse. Au moins maintenant je sais que j'ai faux. Mais je ne vais pas plus loin.

toni77 · #16

Non, je pense que les 4 auraient du être des 5
Les probas pour les 8 cases du bord sont des 1/18
et en refaisant le calcul au milieu on a des 5/18

gwen27 · #17

C'est plus comme ça ?

Je croise les doigts pour savoir si j'ai compris... Sinon je vais me borner aux cryptos et laisser tomber les probas.

Edit: Désolé mais j'aime bien comprendre.

gasole · #18

c'est bon ça gwen... c'est ce que je voulais dire par propager les probas, note que les 3/4 des données se déduisent par symétrie.

gwen27 · #19

Merci. Bon, je n'irai pas jusqu'à 9 mais je suppose que ça me donnera 0, 03.... dans la case X

toni77 · #20

oui gwen

MthS-MlndN · #21

Toujours pas persuadé... Pour moi il aurait fallu propager les probas en partant de la case de départ, pas en partant de celle d'arrivée... Sinon on ne calcule pas la même proba.

gasole · #22

Eh oui mathias, c'est bien ce que Gwen fait dans sa dernière version non ?

MthS-MlndN · #23

Wouoh p*tain, en fait c'est moi qui comprenais le problème a l'envers

Désolé d'être une tâche Ce que tu fais est bon, Gwen !

Jackv · #24

La réponse de Promath me convient. La (tentative de) réponse de gwen est très séduisante.
Puis-je tenter de réconcilier les deux ainsi :

toni77 · #25

Très bien jackv !
En fait, l' "apport" de la case du milieu est à multiplier par 3/2, vu que c'est la seule qui a 2 cases voisines, et non 3.

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#1 - 05-02-2011 21:21:30

Délacement sur une portion de grille

#0 Pub

#2 - 05-02-2011 22:48:34

Déplacement sru une portion de grille

#3 - 06-02-2011 00:58:21

Déplacemen sur une portion de grille

#4 - 06-02-2011 01:36:27

déplacement qur une portion de grille

#5 - 06-02-2011 09:27:35

Déplacement sur une portino de grille

#6 - 06-02-2011 10:12:40

Déplacement sur unne portion de grille

#7 - 06-02-2011 10:19:46

déplavement sur une portion de grille

#8 - 06-02-2011 10:51:47

Déplacement sur une porttion de grille

#9 - 06-02-2011 10:52:43

séplacement sur une portion de grille

#10 - 06-02-2011 11:11:28

Déplacement sur nue portion de grille

#11 - 06-02-2011 12:23:01

Déplacement sur une potion de grille

#12 - 06-02-2011 12:42:32

Déplcement sur une portion de grille

#13 - 06-02-2011 13:02:08

Déplacement sur une portion de grlle

#14 - 06-02-2011 13:36:51

Déplacement sur une portoin de grille

#15 - 06-02-2011 14:35:58

déplacemebt sur une portion de grille

#16 - 06-02-2011 14:59:32

déplacement sur une portoon de grille

#17 - 06-02-2011 15:07:40

Déplacement sur une oprtion de grille

#18 - 06-02-2011 15:13:13

Déplaccement sur une portion de grille

#19 - 06-02-2011 15:43:19

Déplacement sur une portion de grill

#20 - 06-02-2011 15:50:55

Dplacement sur une portion de grille

#21 - 06-02-2011 17:13:02

Déplaceent sur une portion de grille

#22 - 06-02-2011 17:51:47

déplacement sur une portion fe grille

#23 - 06-02-2011 17:57:33

déplacement sur une portion de grolle

#24 - 06-02-2011 18:31:59

Déplacement sur une portoin de grille

#25 - 07-02-2011 09:39:43

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