A vue de nez: g(x) = x+b donc déjà l'ensemble des fonctions affines de la forme x+b avec b entier relatif

@ looping : vrai pour celle-ci et l'autre, je suis bien incapable de les inventer...

@gwen : c'est clair pour les g(x) = x + b

Honnêtement, j'ai cherché plusieurs heures et nada ou presque... ouinnnn !

Ah mince j'allais poster une solution

Bon indice : montrer que g(m)-g(m+1) ne peut être égal en valeur absolue qu'à 1
(par l'absurde, pas = 0, ni > 1)

Looping ! Looping ! Looping !

Allez ! tu auras 10 points G !

Alors, essayons de rédiger ça.

Je prends n dans N*.

J'élimine tout de suite le cas g(n)=g(n+1), car sinon on aurait :
[TeX](g(n)+n)^2 < (g(n+1)+n)(g(n)+n+1) < (g(n)+n+1)^2[/latex] et le terme du milieu ne pourrait pas être un carré parfait car compris strictement entre deux carrés parfaits consécutifs.

Si [latex]|g(n)-g(n+1)| \g 1 [/TeX]
Il existe donc un nombre premier p (> 1 donc) dans la décomposition de g(n)-g(n+1).
Si l'ordre de p dans la décomposition est 1 : [latex]|g(n)-g(n+1)|=pq[/latex], q non divisible par p.
je prends [latex]m=p^3-g(n)[/latex]
alors [latex]g(n+1)+m=p^3+\epsilon_1pq[/latex] où [latex]\epsilon_1 \in \{-1;1\}
[/latex]
Si l'ordre de p dans la décomposition est r > 1
je prends [latex]m=p-g(n)[/latex]
alors [latex]g(n+1)+m=p+\epsilon_2 p^rq[/latex] où [latex]\epsilon_2 \in \{-1;1\}
[/latex]
Dans les deux cas, on a trouvé n et m tel g(n+1)+m est divisible par p mais pas par p², et g(n)+m est divisible par p^3, mais pas par p^4 (j'ai pris p^3 et non p parce que sinon je suis pas sûr que g(n+1)+m ne soit pas divisible par une puissance supérieure de p)

Je considère ensuite les 2 nombres consécutifs g(m)+n et g(m)+n+1.
Les deux ne peuvent pas être simultanément divisibles par p.

Si g(m)+n n'est pas divisible par p, alors (g(m)+n)(g(n)+m) est divisible par une puissance impaire de p
Si g(m)+n+1 n'est pas divisible par p, alors (g(m)+n+1)(g(n+1)+m) est divible par p, et non par p².

Dans les deux cas, les nombres ne peuvent pas être un carré parfait

Ouf !!! Donc [latex]g(n)-g(n+1)=\epsilon[/latex] avec [latex]\epsilon \in \{-1;1\}[/latex]

Le cas [latex]\epsilon=1[/latex] donne [latex]g(n)=n+n_0[/latex], qui est bien solution
Le cas [latex]\epsilon=-1[/latex] donne [latex]g(n)=-n+n_0[/latex].
Mais avec n=1,m=2, [latex](g(1)+2)(g(2)+1)=(n_0+1)(n_0-1)=n_0^2-1[/latex] qui n'est pas un carré parfait

Donc les seules solutions sont les [latex]g(n)=n+n_0[/latex]


Euh, on peut faire plus simple, j'imagine, j'ai toujours aimé faire compliqué :-D

gasole a écrit:

Looping ! Looping ! Looping !

Allez ! tu auras 10 points G !

10 points G ? C'est Sosoy qui va être jalouse !

Exact, irmo.
Mais je peux contrer ça : j'augmente la puissance de p, en la gardant impaire !

Sinon effectivement g est forcément injective, donc pas de souci avec ma dernière remarque !

@looping:
Augmenter la puissance de p marche dans le premier cas, mais dans le deuxième c'est pas autorisé. Mais tu peux prendre m=p.a-g(n) avec n'importe quel entier a non divisible par p.

Non pas arithméticien, mais j'aime bien ca :-)

Oui irmo, même dans le premier cas on peut faire ca.

J'en profite pour parler du pb d'Azdod, on a pas trouvé des solutions non linéaires  ?

Et on a surtout pas de reponse :-) Pas cool Azdod !

je viens de trouver ca :
http://www.scribd.com/mobile/documents/ … _password=
je me suis pas plonge dans le corrige encore

@irmo : pas linéaire d'accord mais pas loin

@looping : merci pour le fichier !

étudions
C('m,n)^2 =(g(m)+n)*(g(n)+m)

c 'est un carré divisible par g'n)+m donc c(m,n)= ((g(n)+m)^2)* 'A^2)

par symétrie C(m,n)^2 est divisible par g(m)+n

2 cas
g(n)+m  >< g(m)+n

C(n,m)^2 =(g(n)+m)^2*(g(m)+n)^2 ce qui est impossible
donc
g(n)+m=g(m)+n

g(n)= g(1)+n