Cet homme ne serait pas très grand si autour de lui il y avait les tailles qui ont servi via ton raisonnement à arriver à la sienne, non ?
Imaginons qu'il mesure 2m50 (je dis au pif), il faudrait qu'à côté de lui on voit un gars de 2,49m, un autre de 2,48, etc jusqu'à 50cm.
Alors que là, on le voit à côté de gens de 1m80, et du coup il paraît très grand parce qu'on rajoute 70cm d'un coup, et non pas 70fois 1cm !

d'un coté tu as des valeurs numériques (x+1) et de l'autre un simple adjectif un peu flou, donc déjà ça embrouille tout le monde
tout est relatif

Ca sent le jeu sur la subjectivité, ça...

Si on définit "pas très grand" comme "inférieur a N cm", alors la règle 2 ne marche plus. Rester dans le flou et faire des maths, ça ne fait pas bon ménage

@tous : si j'avais proposé un raisonnement mathématique erroné (avec une division par zéro par exemple) je suis sûr que j'aurais eu des réponses techniques de votre part, ce que je pose comme question attend une réponse technique ou mathématique si on préfère.

Mon exemple n'est qu'un exemple, qu'en est-il en toute généralité ?

J'ai donc reformulé la question : quel serait un critère précis (mathématique) mais simple et général pour décider si une récurrence est correcte ou pas ? Et pourquoi ce critère marcherait-il ?

Autre formulation :
-c'est quoi une "définition précise" (pour dylasse)? une "définition objective" (pour mathias) ? une définition "pas floue" (pour clement) ?

@dylasse : oui, être "très grand" est une appréciation relative, mais faire 2m50, pour un être humain, c'est sans conteste être très grand.

@mitsuidewi : non, ça n'implique pas qu'on puisse être de taille infinie, juste que le raisonnement prétend être correct aussi grande soit la taille (finie) de la personne.

Bonjour,

A mon avis, il faut que la suite issue de la récurrence soit bornée et que la borne réponde au qualificatif à démontrer (ici, le qualificatif, c'est "pas très grand").
La notion de convergence n'est pas nécessaire (dans d'autre genre d'exemple, on pourrait en effet imaginer une suite bornée mais non convergente).

Klim.

Toujours rien de très précis ni rigoureux dans vos arguments...

On est d'accord, "grand" est flou, imprécis, subjectif... mais qu'est-ce qui pourrait caractériser positivement une définition précise sur laquelle une récurrence serait applicable.

@gabrielduflot : j'ai pas compris ta remarque, une récurrence ça concerne des entiers, qui sont tous finis.

@gwen :
"Grand" n'est pas une valeur soit, mais "impair", "premier" non plus, et pourtant des récurrences sont possibles.

De plus, ça n'a rien à voir dans le cas général avec une moyenne ou un écart-type, prends l'exemple suivant :

1) un grain de sable ne forme pas une plage
2) si n grains ne forment pas une plage, alors n+1 non plus

Donc quelque soit n, n grains de sable ne forment pas une plage...

Ca n'est pas une histoire de moyenne.

PS : j'enseigne les rudiments de la logique, et c'est toujours "amusant" de voir le décalage de technicité entre maths et logique chez les matheux, la plupart d'entre vous savent dériver et intégrer des fonctions super complexes, étudier des suites et des séries, et j'en passe et des meilleures, mais pas caractériser simplement une récurrence correcte

Je ne me moque pas, c'est comme ça en France, pour des raisons historiques les mathématiciens professionnels n'aiment pas la logique, et donc ne l'enseignent pas.

@beniouioui : non, là n'est pas le problème, ajouter un cm ne fait jamais passer de moins que "très grand" à "très grand", de même pour la plage : un grain de sable en plus ou en moins ne change rien.

Cela me rappelle une pseudo-démonstration que 1=2 assez subtile qui utilise les suites équivalentes, et qui repose sur la non-transitivité de l'implication lorsqu'il y en a un grand nombre. Un quelconque rapport ?

prenons comme exemple Passe-partout:
si l'on ajoute à sa taille la longueur de la barbe du père fourras, avec un ProRata de 20% des royalties et compte tenu des la valeur de l'euro, les circonstances de crise ont fait s'envoler le cours du boyard ainsi que la taille de passe-partout!
C.Q.F.D

Bon, comme tu attends autre chose, je tente d'autres choses.

1. Problème de définition :

Changeons l'énoncé en prenant comme propriété "être chmurtz".

Les 2 propositions :
1) si quelqu'un mesure 1 cm, il est chmurtz
2) si quelqu'un de x cm est chmurtz alors quelqu'un de x+1 cm est chmurtz.
permettent d'affirmer que tout le monde est chmurtz et gasole est content !

Ce qui signifie que les 2 propositions permettent de définir "être chmurtz" pour tous les humains : c'est une définition.

Pour notre propriété "ne pas être très grand" la définition liée aux 2 propositions vient se heurter à notre propre définition (a priori) de "ne pas être très grand".

2. problème d'échelle et de tolérence

Nous acceptons la proposition 2) comme étant vraie car 1cm ce n'est pas grand chose par rapport à la taille d'un humain.

De façon sous-entendue, nous acceptons, si x n'est "pas très grand", x+/-1%, n'est "pas très grand non plus". Mais nous faisons l'erreur de mettre notre tolérence sur la valeur mesurée d'un individu et non pas sur la valeur limite de la définition.

Comme si, pour les limites de vitesse tolérée, sachant qu'on tolère 5%, on se dit pour une limitation à 100, je peux rouler à 105, donc 105 est autorisée et en appliquant la tolérence, je peux rouler à 110 (110,25 pour les puristes), etc...

Si la proposition 2) était 2)bis : si quelqu'un qui mesure x n'est très grand alors quelqu'un qui mesure x+50 cm n'est pas très grand, nous dirions : "n'importe quoi !!!, alors que mathématiquement 2) et 2)bis sont globalement équivalentes

@dylasse : tsst tsst "gasole est content" on s'en fout, j'aime la logique et j'ai à coeur d'en faire découvrir des pans méconnus. Vous faites tous des réponses qu'on pourrait qualifier de blabla (je vous prie d'excuser le raccourci, et mis à part Scarta mais il est vraiment phénoménalalalalala ).

Mon but est juste de mettre le doigt sur le fait que sur une question comme "Quand a-t-on le droit de dériver une fonction?" j'aurais eu des réponses précises, très documentées, voire doctes, or il me semble que le principe de récurrence c'est du B.A.BA et je suis étonné (non en fait je m'y attendais) que ses soubassements soient si méconnus !

En fait tout tient dans la n-ième reformulation de ma question : "La récurrence sert à prouver que les entiers possèdent une certaine propriété... Mais c'est quoi une propriété ?", c'est quand même une question importante non ?
Pour ceux qui enseignent, comment expliquez-vous ce qu'est une propriété ?

Je sais, comme je l'ai dit plus haut, la plupart des mathématiciens s'en contrefichent, et je trouve ça dommage.

Mathias propose : "précis = quantitatif"  qui est encore vague mais sur la bonne piste, encore qu'on peut discuter de savoir si "être un nombre premier" est une notion quantitative...

On fait là de la logique donc on va se placer dans l'algbre de Boole, avec un ensemble {Vrai, Faux}, des opérations ET, OU, NON, etc...
Une propriété est une fonction de N dans {Vrai,Faux}, ni plus ni moins, au même titre que "=>" est une fonction de {Vrai,Faux}² dans {Vrai,Faux} qui à x et y fait correspondre "non y ou x"

Ceci dit, je comprends pas pourquoi je suis "en très bonne voie" : mon raisonnement permet de démontrer qu'on ne peut pas appliquer la récurrence et ça s'arrête là, non? Je veux dire, si tu avais divisé par 0 et que je l'avais démontré on aurait été d'accord; là je démontre que la propriété P'(n) = "P(n) => P(n+1)" n'est pas vraie pour tout n, donc pas de récurrence possible