Avec un bon outil graphique, on trouve 651.6 km en étude plane.

Confirmé par http://www.levoyageur.net/distan.php qui indique 651 km.
La différence est peut-être dûe au calcul plan (déformation Mercator).

Mais cela ne semble pas satisfaire l'auteur, qui dit :

La réponse tombe juste.

au lieu de "le résultat est un nombre entier".

Il faut donc calculer en sphérique et non en plan.

L'énoncé ne précise pas si les distances sont en ligne droite (compas à pointes sèches)
ou orthodromiques (terrestres, longueurs d'arcs de grands cercles).

N'ayant aucune envie de faire les calculs fastidieux pour les deux cas, je m'arrête donc ici.

SUR LA ROUTE :

Comme l'indique le titre, la distance dont on parle est une fonction de E x E vers R+, où E est l'espace des villes du monde, qui associe à chaque paire de villes la distance à parcourir sur une route pour relier l'une à l'autre.
Sans autre information sur cette fonction ou sur le maillage routier de E, il est impossible de calculer précisément la distance de U (brUxelles) à N (berliN).
On peut cependant l'encadrer en utilisant les propriétés d'une distance, dont l'inégalité triangulaire.
0 < d(UN) <= d(UA)+d(AN)=3890 km (plus court que le trajet par Lisbonne)

DANS LE PLAN, SUR DES ROUTES RECTILIGNES :

Si on suppose que les routes sont rectilignes et que la terre est plane, alors, le problème possède 4 solutions.

En effet, le triangle ULR est parfaitement défini (ou plutôt définit notre orientation).
(L=Lisbonne, R=Rome, A=Athenes)
Relativement au triagle ULR, A peut avoir 2 positions (intersection de 2 cercles C(U,d(UA) et (R,d(RA)), A1 et A2
N a ensuite 2 positions possibles pour les 2 possibilités de A : intersection de 2 cercles (L,d(LN)) et (Ai,d(AN)).

Parmis ces 4 possibilités, l'une correspond à nos intuitions géographiques (Athènes et Berlin à l'est de l'axe Bruxelles-Rome).

Dans le repère (L,LRx,y), les coordonnées de L sont(0;0) et celles de R(1873;0)
Les coordonnées de U vérifient : xu²+yu² = 1713² et (xu-1873)²+yu²=1182².
La résolution donne : xu=((1713²-1182²)/1873+1873)/2=1345,87 et yu = 1058,45 (on choisit de mettre Bruxelles au nord de Rome).

Ensuite on calcule les coordonnées d'Athènes A (2825,76 ; -416,95) et de Berlin N (1987,58 ; 1177,12), ce qui nous donne la distance cherchée : UN=651,61

Ca ne "tombe pas juste", sans doute à cause du nombre de chiffres significatifs ou d'une erreur de calcul, mais c'est pas loin de la réalité vraie, alors je m'en contente.

SUR LA TERRE RONDE, LES ROUTES SONT DES ARCS DE CERCLES

(à développer)

SUR LA TERRE RONDE, LES DISTANCES SONT LES DISTANCES REELLES DANS L'ESPACE : LES CORDES.

(à développer aussi).

Après beaucoup de calculs, et d'application d'Al Kashi, je trouve :
Berlin - Bruxelles : 651,612 km
Moi ça ne tombe pas juste ...

Athènes : point A
Rome : point R
Lisbonne : point L
Bruxelles : point B
Berlin : point N
La majorité des calculs se fait avec Al Kashi, et des différences d'angles :
[TeX]\hat{LRA} \approx 2,444rad \approx 140,066deg
\hat{LRB} \approx 1,109rad \approx 63,569deg
\hat{LRA} \approx 2,729rad \approx 156,364deg
LA \approx 2856,355km
\hat{RLA} \approx 0,146rad \approx 8,394deg
\hat{ALN} \approx 0,681rad \approx 39,029deg
\hat{RLN} \approx 0,535rad \approx 30,636deg
\hat{RLB} \approx 0,666rad \approx 38,162deg
\hat{NLB} \approx 0,131rad \approx 7,527deg
BN \approx 651,612km[/TeX]

Il va falloir attendre un peu

Oui.

dylasse, L00ping007 et moi avons trouvé la même valeur en géométrie plane.

SaintPierre aurait du "tiquer" et remettre en question la validité de ses propres calculs.

Et ne pas nous laisser nous perdre dans la géométrie sphérique.