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#1 - 07-05-2011 23:00:51
- Promath-
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gtiego1 pendule d'angle
Jean possède une pendule. Aune certaine heure, il remarque que l'angle formé par les 2aiguilles est de 138°. Quelques minutes passent, puis il remarque que l'angle ne mesure maintenant que 60°. Combien de minutes sont elles passées entre les 2 mesures?
Ps: C'est moins de 1h et c'est un nombre de minutes exact.
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#2 - 07-05-2011 23:27:19
- kosmogol
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griego1 pensule d'angle
Je dis que Jean a le rapporteur dans l’œil ![lol](img/smilies/lol.png)
http://enigmusique.blogspot.com/
#3 - 08-05-2011 00:28:32
- Kikuchi
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Girego1 Pendule d'angle
En partant du principe qu'il s'agit des aiguilles pour les heures et les minutes (exit la trotteuse)
A chaque minute qui s'écoule, l'aiguille des minutes avance et réduit l'écart de 6° (360°/60) et celle des heures avance et augmente l'écart de 0,5° (30°/60).
Les minutes écoulés sont alors: Soit [latex]156-6x+0,5x=10 \Rightarrow x=\dfrac{146}{5,5}\approx 26 min\; 33 s[/latex]
Soit [latex](360-156)-6x+0,5x=10 \Rightarrow x=\dfrac{194}{5,5}\approx 35 min\; 16 s[/latex]
EDIT: On la refait; moins crispé. Il y a deux possibilités pour commencer: Soit l'angle orienté (dans le sens trigonométrique) des heures vers les minutes vaut 138° et on aura: [TeX]138-5,5x=\pm 60[/latex] selon que l'aiguille des minutes dépasse ou non celle des heures
Soit c'est l'angle orienté des minutes vers les heures qui vaut 138° et on aura: [latex]138+5,5x=360\pm 60[/TeX] De ces quatres possibilités, une seule donne un compte de minutes exactes qui vaut: 36 min
There's no scientific consensus that life is important
#4 - 08-05-2011 07:55:24
- Promath-
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Griego1 Pendule d'angel
Ps:, j'ai oublié de preciser: C'est un nombre de minutes exact exact, et c'est moins de 1h.
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#5 - 08-05-2011 09:02:57
- gwen27
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griego1 pendule d'anfle
En une heure, la grande aiguille parcours 360°, soit 6° par minute La petite en parcours 360/12 = 30, soit 0,5° par minute
La grande gagne donc 5,5° par minute sur la petite
4 cas possibles :
![http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-pendule2.jpg](http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-pendule2.jpg)
[...]
OK 138° puis 60° ...
Donc 78°, 198°, 162° ou 282°;
Seuls 198° sont divisibles par 5,5, nous sommes donc dans le cas en haut à droite et il s'est écoulé 36mn pendant lesquelles la grande aiguille a dépassé la petite.
De plus la seule heure qui permette de trouver ce résultat de minute pile en minute pile me semble être 2h 36 , puis 3 h 12
#6 - 08-05-2011 09:16:51
- Promath-
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rGiego1 Pendule d'angle
J'ai commis des erreurs sur ce problème: il mesure 138, puis 60 °
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#7 - 08-05-2011 10:37:32
- L00ping007
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griego1 pendule d'zngle
Pourquoi as-tu changé les valeurs de l'énoncé alors qu'elles donnaient un solution ?
Bref avec les nouvelles valeurs, la réponse est : 36 minutes entres 9h24 (resp. 21h24) et 10h00 (resp. 22h00)
EDIT Petite démo dans le cas général. Je note l'heure 1 [latex]h_1:m_1[/latex] et l'heure 2 [latex]h_2:m_2[/latex] La grande aiguille fait un angle en degrés avec la verticale égal à : [TeX]30h_1+\frac{m_1}2[/latex] et [latex]30h_2+\frac{m_2}2[/TeX] La petite aiguille fait un angle en degrés avec la verticale égal à : [TeX]6m_1[/latex] et [latex]6m_2[/TeX] La différence entre ces 2 angles vaut en valeur absolue donc : [TeX]|30h_1-\frac{11m_1}2|[/latex] et [latex]|30h_1-\frac{11m_2}2|[/TeX] Mais cette différence peut dépasser 180°, donc si on veut que l'angle formé par les aiguilles soit égal à un angle [latex]\alpha[/latex] il faut considérer 2 cas : la différence vaut [latex]\alpha[/latex] ou [latex]360-\alpha[/latex]
Dans le cas qui nous intéresse, [latex]\alpha_1=138[/latex] et [latex]\alpha_2=60[/latex]
Pour la première heure, il faut donc chercher les solutions vérifiant : [TeX]30h_1-\frac{11m_1}2=138[/TeX] ou [latex]30h_1-\frac{11m_1}2=-138[/latex] ou [latex]30h_1-\frac{11m_1}2=222[/latex] ou [latex]30h_1-\frac{11m_1}2=-222[/latex] que l'on peut écrire (avec [latex]k_1=\frac{m_1}6[/latex] entier car 138, 222 et 30 sont divisible par 6, et 11 premier avec 6, donc [latex]m_1[/latex] divisible par 6) [TeX]10h_1=11k_1+46[/TeX] ou [latex]10h_1=11k_1-46[/latex] ou [latex]10h_1=11k_1+74[/latex] ou [latex]10h_1=11k_1-74[/latex]
ce qui donne les solutions : [TeX]k_1=4[/latex] et [latex]h_1=9[/latex] : 09h24 ou 21h24 [latex]k_1=6[/latex] et [latex]h_1=2[/latex] : 02h36 ou 14h36 [latex]k_1=6[/latex] et [latex]h_1=14[/latex] : impossible [latex]k_1=4[/latex] et [latex]h_1=-3[/latex] : impossible
On arrive à quatre heures possibles pour la première heure : 02h36 ; 09h24 ; 14h36 ; 21h24
Pour la seconde heure, c'est le même raisonnement :
[latex]30h_2-\frac{11m_1}2=60[/TeX] ou [latex]30h_2-\frac{11m_2}2=-60[/latex] ou [latex]30h_2-\frac{11m_2}2=300[/latex] ou [latex]30h_2-\frac{11m_2}2=-300[/latex] que l'on peut écrire (avec [latex]k_2=\frac{m_2}{30}[/latex] entier car 60, 300 et 30 sont divisible par 30, et 11 premier avec 6, donc [latex]m_2[/latex] divisible par 30 ; [latex]k_2[/latex] vaut 0 ou 1) [TeX]2h_2=11k_2+4[/TeX] ou [latex]2h_2=11k_2-4[/latex] ou [latex]2h_2=11k_2+20[/latex] ou [latex]2h_2=11k_2-20[/latex]
ce qui donne les solutions : [latex]k_2=0[/latex] et [latex]h_2=2[/latex] : 02h00 ou 14h00 impossible [latex]k_2=0[/latex] et [latex]h_2=10[/latex] : 10h00 ou 22h00 impossible
On arrive à quatre heures possibles pour la seconde heure : 02h00 ; 10h00 ; 14h00 ; 22h00.
Les seuls configurations où il s'est écoulé moins d'une heure entre les 2 moments sont : 09h24 puis 10h00 21h24 puis 22h00
Il s'est donc écoulé 36 minutes.
Tu avais dans un premier lieu donné les valeurs 156° et 10°, on arrivait aux heures : 02h48 et 4h20, avec une différence de 1h32. Tu n'avais pas encore spécifié que moins d'une heure s'était écoulée, donc il y avait bien une solution, tant pis ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#8 - 08-05-2011 17:49:20
- halloduda
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Grigo1 Pendule d'angle
Chaque minute, la grande aiguille prend 5.5° d'avance sur la petite. (11 tours en 12 heures)
Si le résultat est entier, il faut ajouter 138 à 60 pour avoir un multiple de 11. La grande aiguille a dépassé la petite.
On trouve alors 198/5.5=36 mn.
#9 - 09-05-2011 12:20:51
- Milou_le_viking
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Griego1 Pendue d'angle
Je me suis un peu planté dans mes vitesses angulaires. =D
La vitesse angulaire de l'aiguille des heures vaut 30°/h. Celle de l'aiguille des minutes vaut 360°/h. Comme les 2 aiguilles tournent dans le même sens, la vitesse angulaire relative vaut 330°/h. Si l'angle diminue de 138°-60°=78°. 78° / 330°/h = 0,236364 h = 00h14,182. Si l'angle augmente de 360°-138°-60°=162°, 162° / 330°/h = 0,490491 = 00h29,455.
Je n'obtiens pas de minute exact. ![sad](img/smilies/sad.png)
Edit: il n'est pas impossible que les 2 aiguilles se soient croisées.
J'ai 2 cas:
- l'angle parcouru vaut 138°+60°=198° et on trouve 198° / 330°/h = 0,6 = 00h36. ![smile](img/smilies/smile.png)
- l'angle parcouru 360°-138°+60°=282° et on trouve 282° / 330°/h = 0,854545 = 00h51,273.
#10 - 09-05-2011 13:08:08
- naddj
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griego1 pensule d'angle
Je dois faire des erreurs, parce que j'ai un angle de 60° à 2:00, et un angle de 138° à 2:36... Je cherche encore... ![sad](img/smilies/sad.png)
#11 - 09-05-2011 19:28:32
- Promath-
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Grieog1 Pendule d'angle
Ceux n'ayant participé qu'a une question, je leur conseille fortement de participer aux autres.
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#12 - 09-05-2011 22:05:09
- FRiZMOUT
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griego1 pendulr d'angle
Je dirais 36 minutes entre 9:24 et 10:00 (AM ou PM).
#13 - 09-05-2011 22:30:18
- Jackv
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Griego1 Pendul d'angle
138 - 60 = 78 dg La grande aiguille court après la petite. La petite aiguille allant 12 fois moins vite que la grande, celle-ci a parcouru : 78 * 12 / 13 = 90 dg, ce qui représente 15 mn.
#14 - 10-05-2011 09:07:23
- scarta
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Griego1 Pendule d'nagle
Si on considère qu'une horloge comporte 60 petites graduations, chaque graduation représente un angle de 6° Une minute correspond au passage de la grande aiguille à la graduation suivante, une heure correspond à 5 graduations de la petite aiguille (donc une graduation par tranche de 12 minutes). Donc à 2h36, la petite aiguille est à la graduation 2*5+36/12 = 13, la grande à 36, donc leur angle fait 23*6 = 138° très exactement C'est aussi le cas à 9h24 A 10h00, il y a 10 graduations entre les 2 aiguilles, soit 60°
Conclusion : il était 9h24 la première fois, et 10h00 la seconde. Il s'est donc écoulé 36 minutes entre les deux
#15 - 10-05-2011 15:56:54
- Franky1103
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grizgo1 pendule d'angle
Bonjour, La petite aiguille avance 12 fois moins vite que la grande. De plus on connait l'angle avant (138° équivalent à 23mn) et après (60° équivalent à 10mn), mais on ne sait pas si c'est la grande aiguille qui est devant la petite ou l'inverse: on aura donc 4 cas à considérer (k étant un entier) exprimant l'angle en fonction du temps passé t: 1°) 11/12 t + 23 = 60 k + 10 soit t = 12/11 (60 k - 13) 2°) 11/12 t + 23 = 60 k - 10 soit t = 12/11 (60 k - 33) 3°) 11/12 t - 23 = 60 k + 10 soit t = 12/11 (60 k + 33) 4°) 11/12 t - 23 = 60 k - 10 soit t = 12/11 (60 k + 13) Je fais varier k et je garde les valeurs entières de t comprises entre 0 et 60. La seule valeur qui convienne est le cas 3° avec k = 0 et qui donne t = 36. La grande aiguille a parcouru un angle équivalent à 36mn (soit 216°) (en dépassant la petite) et la petite un angle équivalent à 3mn (soit 18°). L'angle initial de 138° est devenu 216 - 18 - 138 = 60° (ou en équivalent minutes 36 - 3 - 23 = 10). Donc la réponse unique est 36mn. Bonne journée. Frank
#16 - 14-05-2011 14:45:23
#17 - 14-05-2011 14:51:09
- saba93
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#18 - 14-05-2011 15:58:35
- Golfc
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Griego1 Pendulle d'angle
Le temps est sage, il révèle tout. (Θαλής)
#19 - 14-05-2011 19:51:24
- LeSingeMalicieux
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Griego1 Penduule d'angle
Si moins d'une heure s'est écoulée entre les deux instants, alors la seule possibilité est que Griego a regardé pour la première fois son horloge à 9h24 (ou 21h24), puis la seconde fois à 10h00 (ou 22h00).
Aussi, dans les deux cas, le nombre de minutes écoulées entre ces deux instants est de 36 minutes.
Sympa comme petit problème ![smile](img/smilies/smile.png)
Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.
#20 - 15-05-2011 08:02:41
- Promath-
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Griego1 Pendule d'anngle
36 minutes étaient la solution!
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