Up !

Je n'ai toujours pas la démonstration d'unicité, mais ce problème est intéressant et mérite plus qu'une réponse !

Une base doit pouvoir permettre d'écrire tout nombre :
dans ce cas précis

1 : 1
2x1 : 2 =1x1 +1
3x2x1 : 6 = 2x2x1 +2x1
5x3x2x1 : 30 = 4x3x2x1 + 3x2x1

Chaque terme est donc égal au terme précédent que multiplie le facteur maximum autorisé + lui même. Chaque terme est donc , au bout du compte égal à la somme de tous les termes précédents de la suite +1.

3x2x1 = 2x(2x1)+(2x1)
= maximum rang du précédent  + rang précédent avec facteur 1

5x3x2x1 = 4x(3x2x1)+(3x2x1)
= maximum rang du précédent  + rang précédent avec facteur 1

7x5x3x2x1 = 6x(5x3x2x1)+(5x3x2x1)
= maximum rang du précédent  + rang précédent avec facteur 1


Par récurrence depuis le rang n :

Rang n facteur 1 = max rang (n-1) + max rang (n-2).... + max rang 2 + premier terme de la suite ( 1 )

On a donc l'existence puisque , la limite au rang k étant atteinte, le rang k+1 prends le relai. Et on refait la boucle, jusqu' au facteur maximum du rang k+1 avant de passer au rang k+2 …. et comme on part de 1 , c'est bon.

Je pense aussi que cela démontre l'unicité car il est donc impossible de « remplacer » un facteur au rang k par uniquement des facteurs de rang  inférieur. Il est également impossible de le remplacer uniquement par des facteurs de rang supérieur ( vu le +1 entre deux rangs )

Il est enfin impossible de remplacer un facteur de rang k par une modification de facteurs de rang inférieurs et supérieurs, car ceux de rang supérieur seront toujours des multiples de  k et ceux de rang inférieur n'en donneront jamais (encore ce +1 )

Edit : En fait une autre combinaison pour un même nombre signifierait que le facteur du rang le plus haut qui change entre les deux écritures peut être remplacé par une combinaison de facteurs de rang moindre ce qui est absurde vu que le plus petit terme de ce rang est supérieur au maximum obtenu avec les précédents. donc , unicité.

En fait, ce procédé marche avec n'importe quels nombres  (en ordre croissant mais pas strictement) , pas seulement des nombres premiers. Il suffit que le facteur maximum d'un rang soit inférieur au coefficient qui permet de passer au rang n+1 . Dans le cas d'une "base", ce coefficient est toujours le même, c'est tout.

Bonjour,

Pour démontrer l'unicité, ne peut-on pas raisonner par l'absurde ?

Imaginons deux décompositions différentes pour un même nombre, et étudions la différence.
Cette différence est égale à zéro, puisqu'il s'agit du même nombre. Dès lors, on doit pouvoir démontrer que chaque terme de la décomposition de la différence est égal à zéro, ce qui signifie que les deux décompositions initiales étaient identiques....

Pour les détails, c'est au-dessus de mes moyens, mais j'espère qu'un mathématicien pourra confirmer la démonstration.

Klim.

Pourquoi ? Ca cloche mon truc?

Si deux combinaisons sont différentes, le plus grand terme qui change de facteur doit bien pouvoir être compensé par les autres , or c'est impossible.

Klimrod a écrit:

Imaginons deux décompositions différentes pour un même nombre, et étudions la différence.
Cette différence est égale à zéro, puisqu'il s'agit du même nombre. Dès lors, on doit pouvoir démontrer que chaque terme de la décomposition de la différence est égal à zéro, ce qui signifie que les deux décompositions initiales étaient identiques....

C'est effectivement la façon de démontrer une unicité la plus "évidente" ou "directe" ("straightforward") dans énormément de cas. J'ai tenté de la développer ici, mais je suis gêné, d'une part par les signes (comme Yanyan le fait remarquer), d'autre part par l'interdépendance des termes. La combinaison des deux fait que montrer qu'une différence de 1 sur un des chiffres de cette décomposition ne peut pas être compensée en bidouillant le reste est plutôt ardu.
Une fois cette étape passée, il suffit de dire "une différence de 1 sur le premier chiffre ne peut pas être compensée en touchant au reste, et ça marched pareil si on garde le premier chiffre et qu'on modifie le deuxième, etc." et par récurrence, poum, les deux décompositions sont égales.

gwen27 a écrit:

En fait une autre combinaison pour un même nombre signifierait que le facteur du rang le plus haut qui change entre les deux écritures peut être remplacé par une combinaison de facteurs de rang moindre ce qui est absurde vu que le plus petit terme de ce rang est supérieur au maximum obtenu avec les précédents. donc , unicité.

Cela doit permettre de conclure. Quelqu'un nous construit le tout proprement ?

Yanyan a écrit:

Je pense que si ton plus grand terme concerné est [latex]A_k[/latex] il peut avoir un coefficient or je crois que tu as montré que la compensation est impossible pour [latex]A_k[/latex] seulement.

Ce n'est pas que la compensation est impossible c'est qu'elle n'est même pas atteinte qui importe. Donc, si c'est vrai avec Ak affecté à un facteur 1, ça l'est encore plus avec un facteur plus grand.