Gros malin

Spoiler : [Afficher le message] Je me disais bien que je connaissais sa belle soeur.
Cette suite génère les triplets successifs de la suite de Fibonacci (Fibo pour les intimes)


Spoiler : [Afficher le message] Soient $a_{i}$ les membres de la suite de Fibonacci.
$$U_{n}=a_{n} a_{n+1} a_{n+2}$$
C'est impropre, car il manque les puissances de 10 de $a_{n}$
et $a_{n+1}$. Mais cela permet de se figurer le résultat.

Pour passer à $U_{n+1}$, on doit aboutir à $a_{n+1} a_{n+2} (a_{n+1}+a_{n+2})$
En ayant encore neutralisé la question des puissances de 10.

Quelques questions relatives à $a_{n+1}$ et $a_{n+2}$ se posent: ont-ils le même nombre de chiffres et combien de chiffres a leur somme.

Les cas de figures sont p,p,p; p,p,p+1; p,p+1,p+1. 

p,p+1,p+2 peut être éliminé car le premier chiffre du nombre à p+1 chiffres est nécessairement 1 si à l'étape précédente on était de la forme q,q,q.
$$U_{n}[/latex] est donc une puissance de 10 exposant 3p, (3p+1) ou (3p+2). Et là scarta dégaine son log en base 10 modulo 3. Cas n°1 [latex]1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p$$
$$E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p$$
$$E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p$$
Cas n°2
$$1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p+1$$
$$E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p$$
$$E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p$$
Cas n°3
$$1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p+1$$
$$E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p+1$$
$$E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p$$
Les trois formules permettent donc d'isoler le nombre exact de chiffres de $a_{n+2}, a_{n+1}, et a_{n}$

A partir de là, il n'y a plus, si j'ose dire qu'à dérouler:

Le premier membre de la somme extrait de $U_n$ les chiffres consécutifs $a_{n+1}a_{n+2}$ et les multiplie par la puissance égale à la somme des nombres de ces deux chiffres, ce qui donne le début du triplet suivant, suivi du nombre de zéros égal à la somme de ces deux nombres.

Le deuxième membre de la somme divise par une puissance de 10 égale au nombre de chiffres de $a_{n+2}$  et récupère $a_{n+1}$ par modulo sur le nombre de chiffres de ce dernier.

Le dernier membre de la somme récupère $a_{n+2}$ par modulo sur le nombre de chiffres de ce dernier.

Pour $U_{0}$ c'est OK, ce qui permet d'amorcer la démonstration par récurrence.


Un peu impressionnant au début, mais passionnant ensuite!