Je sais ce qu'on peut faire en Math, mais je sais aussi ce qui a été écrit dans cette enigme.
L'intégration fait justement appel à des dx aussi fins que l'on veut mais qui sont malgré tout de dimension continue, et dans le plan donc une largeur réelle, proche  de zéro mais pas zéro.
Pour le dessin, je le répète: la surface d'un cercle est nulle. Si on trace x, x entier, alors x*o=0
Il faut alors en arriver à tracer une infinité de cercles (même pour un plan limité).
Infini*zéro= ?

Autre exemple plus simple: trouver 2 points sur une ligne tels qu'il soit impossible d'en insérer un troisième entre eux. C'est évidemment impossible.
Et on pourra mettre autant de points que l'on veut, il restera tjs entre eux assez de place pour en mettre une infinité.
L'infinité des points dans ces conditions est-telle capable de boucher le trou des espaces ? ben non, selon le schéma décrit: l'algo: "2 points positionnés=1 espace créé" ne permet pas de "boucher les trous".
Mais bon, c'est plus du wishfull que de la démo, et proche de la physique que de la théorie mathématiques.
Il n'empêche....

@nodgim:

En primaire, le prof m'a donné comme définition du cercle de centre O de rayon r: l'ensemble des points qui sont à distance r de O.
Donc en primaire on savait déjà qu'une courbe peut être vue comme un ensemble de point.

De même tu peux remplir un plan avec des points. Il suffit de dire que le plan, c'est l'ensemble des points du plan (Lapalisse aurait pas dit mieux ).

Démonstration de l'impossibilité de remplir une droite avec des points:

On met 2 points p1 et p2 d'abscisse différente x1 et x2 sur un axe 0x: Il y a entre x1 et x2 une infinité de positions pour placer 1 point p3 d'abscisse x3; On le place. Entre p1 et p3 ou p1 et p2, il y a à nouveau un intervalle non nul qui permer de positionner un pt p4. Etc.....
On peut poser une infinité de pts sur une droite, on ne pourra jamais reconstituer la droite en entier.
Démonstration à rapporter à tout objet de dimension n vis à vis d'un ensemble de dimension n+1.

Il est à noter que l'intégrale d'une fonction fait appel à dx, différentiel de dimension aussi petite que l'on veut mais non nulle.

C'est là toute la différence entre le continu et le discret.

Je ne peux pas répondre à tous, mais dans l'ensemble la contestation vient des montages mathématiques qu'on nous a appris.

Pour la flêche c'est simple: le temps s'écoule pour nos sens humains de manière régulière, mais quand il reste à la flêche la moitié de la distance, elle le parcourt en moitié moins de temps. Donc le paradoxe est vite levé.

L'algo que je propose est infini: toujours des points et des intervalles entre eux. Comment dans ces conditions boucher les intervalles avec des points ? Comment passer du schéma "point-intervalle" à 'points touche touche"?
Impossible bien sûr.

J'ai répondu au problème posé du remplissage en me servant uniquement de la représentation Euclidienne qui est faite de points, lignes, plans, rien de plus.
Si cette vision n'est pas en accord avec certains aspects des mathématiques (courbe de Péano, par exemple) tant pis, mais je voudrais qu'on me dise où je me trompe. L'algo est fallacieux ?  je veux bien mais où ?

Au plaisir de vous lire.

Pas de problème pour un cercle qui est une ligne continue.

Attention, tout de même, le cercle idéal ne consomme pas de graphite (surface nulle)!

Pas d'accord pour dire qu'on peut remplir une surface d'aire donnée avec des lignes d'aire nulle.

Je propose un modèle, on ne me dit que c'est pas comme ça qu'il faut réfléchir, etc..
je veux bien l'admettre, mais je voudrais aussi qu'on démontre l'absurdité de ma démarche qui, je le répète, ne fait appel qu'à des objets mathématiques simples. Ou alors admettre cette double réalité: on peut et on ne peut pas remplir. Y a du Godel dans l'air (e)...

Ben non.
Ce que j'ai dit pour les points (dim 0) avec une droite (dim 1) vaut pour des cercles (dim 1) avec le plan (dim 2). Avec le plan, il restera tjs des morceaux d'aire entre les arcs de cercle.

Je trouve que la courbe de Peano n'est pas tout à fait la même chose que la bijection du segment [0,1] et du carré [0,1]²...

La courbe couvre en quelque sorte alors que la bijection se fait point par point, je sais pas si je m'exprime très bien...

La réponse d'Irmo322 me convient bien. Le problème aurait pu être posé de manière différente:
"Tous les points du plan appartiennent ils à un cercle qui fait partie de l'ensemble des cercles disjoints de rayon non nul et non infini du plan ?".

Ce qui est quand même différent de la question originale, et qui a l'avantage de respecter le langage mathématique.

Du coup je comprends aussi la courbe de Péano, à voir non pas comme un "remplissage" mais de cette manière: "Tout point du plan est en relation de bijection avec un point d'un segment de droite donné".

C'est que ce problème est d'une extrême complexité, malgré la simplicité de la question.
Car à la démo généralement admise qui montre qu'au moins un centre de cercle ne pourra être couvert par un cercle, on peut opposer cette assertion:
"N'importe quel point du plan est couvert par un cercle de rayon non nul, aussi petit soit il". 

C'est reparti pour 1 tour....

Pfiou he be il n'y a pas grand chose de rigoureux dans ce post beaucoup de gens n'ont pas compris la question de base et même la solution proposée n'est vraiment pas rigoureuse ^^.
Il y a régulièrement des confusions entre discret,  infini, continue, dénombrabilité etc...
J'ai vu que certains le savaient parfaitement et avait renoncé à intervenir.
Perso j'ai pas pu résister je viens quand même dire un truc relativement stérile qui se résume à "doucement les jeunes mais vous faites vraiment fausse route".
Je conseille vraiment de tenter de mettre un sens clair sur les termes suivant pour ceux qui ne verraient pas instantanément le concept derrière ca peut être intéressant si on le sort du mysticisme qui semble bien plaire

-Ensemble.
-Tendre vers/passage à la limite.
-Fini.
-Infini dénombrable.
-Infini non dénombrable.
-Continue.
-Discret.

PS: comme mon intervention ne dit pas grand chose en dehors de grogner je suis toujours prêt à en discuter par mail mais uniquement si c'est une vraie discussion.

Je donne cependant des contres exemples aux arguments de certains qui se reconnaitront:

-La droite des rationnels (fraction d'entiers relatifs) est constitue d'une infinité dénombrable d'éléments, on peut bien voir qu'entre 2 éléments de cet ensemble il y a toujours au moins un autre élément, pourtant ca n'a strictement rien à voir avec du continu.

-Avec une infinité non dénombrable de cercles concentriques de rayon non nul et centrés sur l'origine on recouvre tout le plan à l'exception de l'origine et on a pourtant pas eu a utiliser un cercle de rayon infini. (Ce qui ne veut au passage rien dire du tout). (Le but de cette phrase n'est absolument de répondre à l'énigme car c'est clairement ce qu'elle ne fait pas).

-Avec une infinité non dénombrable de droites disjointes on peut parfaitement recouvrir le plan.

-Si on pouvait recouvrir le plan avec des cercles disjoints et de rayon non nul alors il doit nécessairement y en avoir une infinité non dénombrable. (cette phrase est un SI-ALORS)

etc...

Clydevil a écrit:

- La droite des rationnels (fraction d'entiers relatifs) est constitue d'une infinité dénombrable d'éléments, on peut bien voir qu'entre 2 éléments de cet ensemble il y a toujours au moins un autre élément, pourtant ca n'a strictement rien à voir avec du continu.

Ca me perturbe. ca fait bien longtemps que je me suis écarté de ses notions.
Un ensemble est dénombrable s'il existe une bijection entre cette ensemble et N l'ensemble des entiers.
On peut montrer que l'ensemble des couples d'entiers NxN est également dénombrables.
On en conclu donc que l'ensemble des rationnels est dénombrables. Ca fait bizarre quand même.
Mais du coup, j'aurais tendance à dire que l'ensemble des réels est dénombrable aussi.
J'ai un vague souvenir selon lequel les ensembles des rationnels et des irrationnels ont même densité ou un truc comme ça. Et que par conséquent, il y a autant de rationnels que d'irrationnels et même qu'il y a toujours un rationnels entre deux irrationnels et réciproquement. (mais ça reste très vague tout ça et peut-être faut). Du coup, l'ensemble des irrationnels est dénombrable à l'instar des rationnels. D'où la conclusion que l'ensemble des réels est dénombrable.
Ce qui a tendance à me turlupiner.

>>Qu'est-ce qu'il y a de non rigoureux dans la démonstration que j'ai donnée?
>>Peut-être l'existence du point commun dans tous les cercles considérés?

Oui juste cette partie, je ne disais pas qu'elle était fausse mais qu'elle n'était pas rigoureuse ^^ donc forcement plus tu préciseras plus elle le deviendra .
Mais si tu définis bien les ensembles que tu considères (famille de cercles emboites, de disques fermés issue des cercles etc...) le point que tu construis, la propriété qui en assure l'existence et éventuellement l'unicité si besoin etc..  il n'y a pas de probleme.
Dans ce genre de question de topo faut jamais passer à la limite trop vite, le bon sens marche souvent, mais il suffit d'une fois et hop après on évite le simple bon sens. Et il peut y en avoir des trucs pas intuitif avec le continu... des trucs atroces...