Léonard a oublié son code à 4 chiffres (le 1er chiffre est non nul). Il se rappelle cependant qu'en divisant ce code par la somme de ses chiffres, il obtenait 57,8... 1. Quel est son code ? 2. Et avec le 1er chiffre nul, quel serait son code ?
C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
1/ La somme des chiffres du code est entre 18 et 36 car le code est au moins 1000 et pas mieux que 4 chiffres "9". Comme 36*57.8=2080.8, la somme des chiffres est au maximum 28 (pour 1999) Comme 28*57.8=1618.4, la somme des chiffres est au maximum 24 (pour 1599) Comme 24*57.8=1387.8, la somme des chiffres est au maximum 21 (pour 1299) Comme 21*57.8=1213.8, la somme des chiffres est au maximum 20 (pour 1199) Comme 20*57.8=1156, la somme des chiffres est au maximum 19 (pour 1099) or 1099/19=57.8... 1099 est le code recherché
On notera au passage que le minimum [latex]\rm\frac{code a quatre chiffres}{somme des chiffres} [/latex]est précisément 57.842
Je propose 1099, l'année de la prise de Jérusalem par les Croisés. Godefroi et son jeune frère Eustache de Boulogne arrivent à s'approcher des murailles, avec stratégie, à bord d'une tour recouverte de peaux de bêtes fraîchement écorchées et ainsi protégées du feu. Bientôt des échelles surgies de partout s'adossent aux murailles...
Si Léonard a mis un zéro en premier chiffre, alors la route est plus dangereuse, je propose 0925 :
Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
Pour un nombre inférieur à 10000, la somme des chiffres n'excède pas 36. Le nombre maximum théorique est donc inférieur à 36*57.9 = 2084 Pour un nombre inférieur à 2084, la somme des chiffres n'excède pas 28. Le nombre maximum théorique est donc inférieur à 28*57.9 = 1621 Pour un nombre inférieur à 1621, la somme des chiffres n'excède pas 24. Le nombre maximum théorique est donc inférieur à 24*57.9 = 1389 Pour un nombre inférieur à 1389, la somme des chiffres n'excède pas 21. Le nombre maximum théorique est donc inférieur à 21*57.9 = 1215 Pour un nombre inférieur à 1215, la somme des chiffres n'excède pas 20. Le nombre maximum théorique est donc inférieur à 20*57.9 = 1158 Pour un nombre inférieur à 1158, la somme des chiffres n'excède pas 19. Le nombre maximum théorique est donc inférieur à 19*57.9 = 1100
D'un autre côté : si 57.9*x est supérieur à 1000; alors x vaut au moins 18. Les nombres ayant pour somme 18 ou 19 sont : 1089, 1098 et 1099 On teste les 3 solutions pour constater que 1099/19 = 57.8421... La réponse 1) est donc 1099
La somme des chiffres doit être un multiple de 5 inférieur à 40. Il n'y a donc que 7 possibilités: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35.
5 x 57,8 = 289 --> S = 19 10 x 57,8 = 578 --> S = 20 15 x 57,8 = 867 --> S = 21 20 x 57,8 = 1156 --> S = 13 25 x 57,8 = 1445 --> S = 14 30 x 57,8 = 1734 --> S = 15 35 x 57,8 = 2023 --> S = 7
Aucun multiple ne correspond à la somme des chiffres qui lui est associées.
2eme constat: Le code C est entre 0000 et 9999, donc la somme S des chiffres de C est entre 0 et 36...
C et S vérifient: C/S=17²/5 ou C=17²S/5 17² n'étant pas divisible par 5, S est nécessairement un multiple de 5 pour que C soit un entier.
S=5 --> C=17²=289 mais la somme 2+8+9 vaut 19 donc ce n'est pas une solution S=10 --> C=2*17²=578 mais la somme 5+7+8 vaut 20... S=15 --> C=3*17²=867 mais la somme 8+6+7 vaut 21... S=20 --> C=4*17²=1156 mais la somme 1+1+5+6 vaut 13... S=25 --> C=5*17²=1445 mais la somme 1+4+4+5 vaut 14... S=30 --> C=6*17²=1734 mais la somme 1+7+3+4 vaut 15... S=35 --> C=7*17²=2023 mais la somme 2+0+2+3 vaut 7...
???????? Je ne trouve pas de solution, que le premier chiffre soit nul ou non. J'ai l'impression que Léonard cache son identité, et qu'en réalité il s'appelle...
La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]
Je trouve 1099. J'essaierai de prendre le temps de détailler. En court: on écrit l'inégalité: 57,8(a+b+c+d) <= 1000a+100b+10c+d <57,9(a+b+c+d) et (a+b+c+d)<=36
On trouve par inégalités successives que a ne peut valoir que 1 et b peut valoir 0, 1 ou 2 ce qui donne comme candidats possibles: 1089, 1098, 1099, 1189, 1198, 1199 et 1299 et ces cas sont très simples à vérifier. Seul 1099 satisfait l'inégalité.
Pour le cas a=0, je n'ai pas encore trouvé de façon simple (sans trop de cas) de trouver ou d'infirmer l'existence du code.
Bonjour, Au pire le code vaut 4 x 9 x 57,8 = 2081. Sur Excel, je teste donc tous les codes inférieurs à 2081: - entre 0 et 999, je trouve 925 (question 2) et, - entre 1000 et 2081, je trouve 1099 (question 1). On a 1 solution unique par question. J'ai cherché une démonstration plus élégante, mais pas trouvé. Bonne soirée. Frank
Je ne vais pas rendre une copie parfaite (Merci Excel)
Pour trouver j'ai pris les nombres de 1 à 36 (36 étant le maximum possible de la somme des 4 chiffres du code mystère - 9999) J'ai multiplié chacun de ces nombres par 57,8 et 57,9 j'ai ensuite pris tous les nombres entier compris dans ces intervalles. Puis pour chacun j'ai vérifié si cela correspondait au code mystère
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