Enigme Passe Temps que ça - concaténation des produits des chiffres voisins 1/2 @ Prise2Tete

nodgim · #1

Cette suite est définie de la manière suivante:
A partir d'un nombre quelconque, le nombre suivant sera la concaténation des produits des chiffres voisins pris dans l'ordre.
exemple: pour 734, le nombre suivant sera 2112 (pour 7*3 puis 3*4), puis 212 (2*1 puis 1*1 puis 1*2) puis 22 puis 4 FIN.

Questions:
Quel est le plus petit nombre qui se dilate infiniment ?
Quel est le plus petit nombre qui se dilate infiniment quel que soit l'ordre des chiffres du départ ?
Peut on trouver une suite qui se reboucle sur un nombre différent d'un chiffre unique ?

Je n'ai pas encore de réponse pour la 3ème question...

Bon amusement

gwen27 · #2

Pour la 1 , je suis sur 292

292
1818
888
6464
242424
88888
.... 166

la 2 : 288

FRiZMOUT · #3

- 166
- 279
- non

looozer · #4

1. 166
2. 279
3. ?

nodgim · #5

Pour Gwen27: il y a plus petit.
Pour Frizmout: pour 3) c'est sûrement vrai, mais la preuve ?
Pour Loozer et Frizmout: OK pour 1 et 2.

FRiZMOUT · #6

Ah parce qu'on doit le prouver, en plus

L00ping007 · #7

1/ Ce ne peut pas être un nombre à 2 chiffres, car xy < 10x+y : la suite est strictement décroissante.
Voyons les nombres à 3 chiffres.
Si le chiffre des centaines est 1, le chiffre des unités doit être supérieur à 5, car sinon le terme suivant est à deux chiffres.
Je les ai tous essayés, avant de tomber sur 166 :
166
636
1818
888
6464
242424
88888
64646464
etc

2/ 166 n'est pas candidat, car 616 donne 66, puis 36, 18, et 8.
Donc il faut chercher encore :-)

scarta · #8

8888...88 N fois donne ensuite 64646464...64 N-1 fois (nombre de 2N-2 chiffres), puis 24242424...24 2N-3 fois (nombre de 4N-6 chiffres) pour finir par 8888...8 4N-7 fois.

Après ces quelques étapes on retombe donc sur un nombre de la même forme, plus grand si N < 4N-7, autrement dit N >= 3

888 bouclerait donc indéfiniment, mais... peut-être un nombre inférieur à 888 pourrait nous donner ce fameux 888 après quelques itérations ?
Comme par exemple 444 (=> 1616 => 666 => 181818 => 88888)
Ou mieux, 292 (1818 => 888); voire 166 (=> 636 => 1818 => 888)

Comme 10x+y < xy; un nombre à 2 chiffres nous donnerait forcément un résultat inférieur (donc à 1 ou 2 chiffres) et ne serait donc pas valide
On teste rapidement tous les nombres de 100 à 165 pour valider le fait que 166 est bien le plus petit possible.

Pour la question 2, 166 ne marche pas (car 616 => 66); plus généralement 1xy ne marche pas, et donc tout nombre qui contient un 1 aussi.
on va donc commencer à 222.
Après avoir éliminé tous les 22x, on peut ne pas considérer les 2x2, puis après les 23x les 2x3 etc... ce qui fait que ça va assez vite
Sans preuve, je dirais que 288 est le plus petit (en dessous, c'est pas bon, mais quant à savoir si la divergence se poursuit... je sèche)

nodgim · #9

Bon pour Looping et Scarta pour la question 1.

scarta · #10

C'est vrai ça tiens, j'en ai loupé...
Un nombre a888 (a étant un nombre quelconque) donnerait b6464, puis c242424 et enfin d88888 (b, c et d sont d'autres nombres); ça nous avance un peu plus
On peut appliquer la même chose aux nombres 888a
Du coup, un nombre qui contient 3 fois le chiffre 8 d'affilée divergera.

Ca nous permet d'affirmer que 279 diverge, ainsi que 297, 729, 792, 927 et 972 (qui lui obtient ses "trois huits" après un nombre infâme d'étapes et une bonne centaine de chiffres).

Je réalise juste maintenant (trop bête ! ) qu'un nombre qui contient un nombre qui diverge diverge aussi

nodgim · #11

Oui Scarta, il suffit qu'un nombre contienne un plus petit qui diverge pour que celui là diverge aussi.

L00ping007 · #12

Question 2 : 279
279,297,729,792,927 et 972 se dilatent infiniment.

Par contre, j'ai dû utiliser un petit script pour le trouver, à la main je ne me voyais pas tester tous les nombres ...

nodgim · #13

OK Looping.

nodgim · #14

Bravo à tous.
Je suis allé un peu plus loin en faisant la liste des 218 nb de 3 chiffres qui divergent infiniment, c'est pratique pour trouver si un nombre quelconque diverge, il suffit d'y trouver l'un de ces 218 nombres.
Cependant ça ne répond pas tjs à la question de savoir s'il existe des nombres qui se rebouclent sur eux mêmes, je reste prudent.

En marge de cette question, un nombre qui contient 78 ou 87 ou 69 ou 96 peut il se trouver dans une boucle ?

scarta · #15

C'est une condition suffisante mais pas nécessaire : par exemple 161 et 616 convergent mais 1616 diverge

De manière plus générale, on peut affirmer que la proportion de nombre qui divergent ne peut que croître:
Un nombre de n+1 chiffres est composé de N chiffres (appelée base) et d'un n+1 chiffre des unités.
Pour toute base divergente, on obtient 10 nombres divergents.
Pour certaines bases convergentes et certaines unités, on peut aussi obtenir des divergents.
Par exemple, une base 10....088 converge toujours, et 10....0888 diverge toujours
Du coup, si f(n) est le nombre de divergents à n chiffres, f(n+1) > 10*f(n)

Clydevil · #16

Hello,
Apres quelques lignes de codes et assurant que le programme ne soit pas faux (il trouve 225 nombres de 3 chiffres qui divergent et non 218 nodgim tu en penses quoi?)
Au moins l'une des deux propositions suivantes est vraie:
-Soit aucun nombre < 1 000 000(de plus d'un chiffre) ne boucle.
-Soit s'il boucle il passe par un nombre de plus de 100 chiffre (ce qui me semble improbable).

Je remarque aussi que plus on grandit plus la proba de diverger est grande.

nodgim · #17

Clydevil, si tu pouvais lister ces 225 nombres ça m'intéresse. J'ai fait à la main, il se peut que certains aient été éliminés à tort.

Pour la conjecture du bouclage j'ai encore avancé, et j'énonce quelques unes des règles que doit respecter un nombre qui peut se reboucler sur lui même:
1)Pas de chiffre 5, 7, 0 ou 9.
2) Pas de chiffres impairs consécutifs, s'il y en a ils sont isolés.
3) Le dernier chiffre est pair.

Je vous laisse le soin de tenter de retrouver la preuve de ces assertions.

Compte tenu de ça, j'avance que tout nombre respectant ces contraintes et ayant 6 chiffres diverge, à moins qu'il ne se reboucle. Mais comme Clydevil vient de faire le test, ça prouverait qu'aucun nombre ne peut se reboucler.

Clydevil · #18

Les 225 nombres de 3 chiffres divergents crashés par le programme:

166 - 176 - 177 - 179 - 186 - 188 - 193 - 194 - 195 - 198 -

247 - 249 - 266 - 267 - 268 - 272 - 274 - 276 - 277 - 279 - 282 - 284 - 286 - 288 - 289 - 292 - 293 - 294 - 295 - 297 - 299 -

338 - 339 - 348 - 349 - 361 - 362 - 363 - 364 - 366 - 367 - 368 - 377 - 379 - 383 - 386 - 388 - 389 - 391 - 392 - 393 - 394 - 395 - 397 - 398 -

443 - 444 - 447 - 448 - 449 - 463 - 464 - 466 - 467 - 468 - 472 - 473 - 474 - 475 - 476 - 477 - 479 - 484 - 486 - 488 - 489 - 492 - 493 - 494 - 495 - 497 - 498 - 499 -

632 - 634 - 636 - 637 - 638 - 639 - 646 - 647 - 649 - 661 - 662 - 663 - 664 - 665 - 666 - 667 - 668 - 674 - 675 - 676 - 677 - 679 - 681 - 682 - 683 - 684 - 685 - 686 - 688 - 697 - 698 -

727 - 729 - 741 - 742 - 743 - 744 - 745 - 746 - 747 - 748 - 749 - 763 - 764 - 766 - 767 - 768 - 771 - 773 - 774 - 775 - 776 - 777 - 778 - 784 - 788 - 791 - 792 - 793 - 794 - 795 - 797 - 798 - 799 -

823 - 826 - 827 - 828 - 829 - 833 - 836 - 837 - 838 - 839 - 847 - 848 - 849 - 861 - 862 - 863 - 864 - 866 - 867 - 868 - 877 - 879 - 882 - 883 - 884 - 886 - 888 - 889 - 891 - 892 - 893 - 894 - 895 - 897 - 898 - 899 -

923 - 924 - 926 - 927 - 928 - 929 - 932 - 933 - 934 - 935 - 936 - 937 - 938 - 939 - 941 - 942 - 943 - 944 - 945 - 946 - 947 - 948 - 949 - 968 - 971 - 972 - 973 - 974 - 975 - 976 - 977 - 979 - 982 - 983 - 984 - 986 - 988 - 989 - 994 - 997 - 998 - 999 -

scarta · #19

Autre remarque: parmi les nombres de 4 chiffres écrits uniquement avec les chiffres 2, 4, 6 ou 8; tous divergent sauf 2262 et 4222.
Du coup, parmi les nombres à 5 chiffres écrits uniquement avec les chiffres 2, 4, 6 ou 8; tous divergent sans exception (vu que tout nombre qui ne contiendrait pas les 2 exceptions susmentionnées diverge, et ceux qui les contiennent sont de la forme X2262 (et X226 diverge), 2262X (et 262X diverge), ou X4222 etc...

Conclusion: tout nombre contenant 5 chiffres pairs non nuls consécutifs diverge

nodgim · #20

Merci à Clydevil pour sa liste, je vais regarder les deltas.

Pour Scarta: Il reste donc à vérifier la divergence pour les nombres associés avec les impairs (1 sur 2 donc au max). Peut être ne vérifier les 6 chiffres que dans le cas où les 5 chiffres ne sont pas concluants.

On n'est pas loin de la conclusion...

nodgim · #21

Pour Clydevil: les 7 nombres qui manquaient dans ma liste (essentiellement ceux qui se terminent par 1 ou 5) sont bons, ta liste est OK.

nodgim · #22

Clydevil a écrit:
Hello,
Apres quelques lignes de codes et assurant que le programme ne soit pas faux (il trouve 225 nombres de 3 chiffres qui divergent et non 218 nodgim tu en penses quoi?)
Au moins l'une des deux propositions suivantes est vraie:
-Soit aucun nombre < 1 000 000(de plus d'un chiffre) ne boucle.
-Soit s'il boucle il passe par un nombre de plus de 100 chiffre (ce qui me semble improbable).

Je remarque aussi que plus on grandit plus la proba de diverger est grande.

Ah je comprends ton programme, si un nombre atteint 100 chiffres tu estimes que c'est bon, c'est ça ?

Clydevil · #23

>>Ah je comprends ton programme, si un nombre atteint 100 chiffres tu estimes que >>c'est bon, c'est ça ?
Oui c'est cela au bout de 100 chiffres le programme considère que ça diverge.

scarta · #24

Et si tu ajoutes une condition un peu plus formelle, ça donne quoi ?
(du genre: un nombre diverge s'il contient une série de 3 chiffres parmi tes 225 combinaisons)

nodgim · #25

En tous cas, on n'est pas là dans la preuve mais dans la stat. C'est sûrement bon, mais ce n'est pas satisfaisant si on veut parler de preuve.

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