J'ai écrit un bout de code en scheme et je trouve 7

(define (sig n)
  (if (< n 10) n
      (sig (+ (modulo n 10) (sig (quotient n 10))))))

(sig (expt 4444 4444))

>7

Sinon 4444 = 4 * 11 * 101.  Ce n'est pas un multiple de 3 donc la signature ne peut être ni 3 ni 6 ni 9.  Mias ça ne mène pas très loin.

Enfin la partie intéressante :

Tout d'abord je voudrais remarquer que la signature est une opération idempotente : sig(sig(n)) = sig(n)

De plus la signature de 10a+b est égale à la signature de a + b, avec a et b des chiffres  : sig(10a+b) = sig(a)+sig(b)
C'est direct à partir de la définition de la signature.

On en déduit que la signature d'une somme de deux entiers est égale à la signature de la somme des signatures des deux entiers.
En effet la somme de deux entiers se fait chiffre a chiffre avec éventuellement des retenues mais dans ce cas on a sig(10a+b) = sig(a)+sig(b).
Pour n et m deux entiers quelconques on a donc sig(n+m) = sig (sig n + sig m)

Comme la multiplication de deux entiers n*m est en fait l'addition n fois de m, on en déduit que sig(n*m) = sig(n*sig m) = sig(sig n * sig m). 

De même on a sig (n^m)  = sig ((sig n)^m).
sig (n ^(a+b)) = sig (sig(n)^a * sig(n)^ b)
sig (n ^(a*b)) = sig (sig(n)^a)^b)


On peut donc calculer la signature sous les opérateurs pour simplifier énormément le calcul (un peu comme en arithmétique modulaire cf exponentiation modulaire ou les prisonniers aux chapeaux colorés :-p )

sig (4444^4444) =
sig(sig (4444)  ^4444) =
sig(sig(sig(4)*sig(11)*sig(101)) ^4444) =
sig(sig(16)^4444) =
sig(7^4444) =
sig (sig (7^4) ^1111) =       // sig (7^4) = sig (2041) = 7
sig (sig (7^11)^101)  =      // (sig (7^11) = sig  (1 977 326 743) = 4
sig (4^101) =
sig (4 * (sig 4^100)) =
sig (4* sig (sig 4^10)^10)) =   // (sig (4^10) = sig  (1 048 576) = 4
sig (4* (sig 4^10)) =
sig(4*4) = sig (16) = 7

Bonjour

Si on note $S(p$) la somme des chiffres d'un entier $p$ et $n=4444^{4444}$ alors :
$$S(n)\leq 9\times [4444 \times log(4444]+1]\leq145906$$
$$S^2(n)\leq 5 \times 9 \leq 45$$
$$S^3(n)\leq 12$$
Où $log$ désigne le logarithme décimal .

Or $4444\equiv 7[mod 9]$ , $4444 \equiv 1 [mod 3]$ et $7^3 \equiv 1 [mod 9]$ .
$$S^3(n)\equiv n \equiv 4444^{444} \equiv 7^{4444} \equiv 7^1 \equiv 7 [mod 9]$$
Et comme  $S^3(n) \leq 12$ , $S^3(n)=7$ .

Ca sent l'été

Vasimolo

Comme la somme des chiffres des puisssances de 4444 donnent successivement 7, 4, 1, 7, 4, 1... je dirais 7 puisque 4444 mod 3 = 1

Cette signature est une congruence modulo 9, sous-jacente dans la traditionnelle preuve par neuf.
$$4444 \equiv 16 \quad [9][/latex] donc [latex]4444 \equiv 7 \quad [9]$$ $$4444^2 \equiv 7^2 \quad [9][/latex] soit, puisque 49 donne 4+9=13,  [latex]4444^2 \equiv 4 \quad [9]$$ $$4444^6 \equiv 4^3 \quad [9][/latex] soit, puisque 64 donne 6+4=10 puis 1+0=1,  [latex]4444^6 \equiv 1 \quad [9]$$ $$4444 = 740 \cdot 6 +4[/latex] donc [latex]{4444}^{4444} \equiv 7^4 \quad [9]$$ $$7^4 \equiv 4^2 \equiv 7 \quad [9]$$
D'où la fameuse signature : 7 ...

On doit pouvoir faire plus court en partant de 4444=4*1111, passant par 4^8888 et 8888=1481*6+2 ou en remplaçant 7 par (-2).

Vasimolo a écrit:

Ca sent l'été

Dis tout de suite que c'était super-simple et que je me suis galéré sur une c***erie, aussi, non ?

M'énervent, ces matheux

Moi, honte ? Jamais

Je peux te la voler, celle-là ?