Enigme Rotation de chiffres @ Prise2Tete

rivas · #1

Bonjour,

Toujours de l'arithmétique
Dans tout le problème on considère la base 10 et l'écriture des nombres dans cette base.

On cherche le plus petit nombre entier positif de 3 chiffres ou plus tel que si l'on déplace ses 2 derniers chiffres en première position (sans changer leur ordre), le nouveau nombre obtenu soit le double de l'ancien.

Voici un exemple de l'opération: 12345 -> 45123.
Ce nombre ne convient pas car 45123 n'est pas le double de 12345.

Je ne demande pas le nombre en question mais simplement le nombre de chiffres de ce nombre (que l'on peut trouver sans calculer le nombre lui-même).
Que ceux qui veulent me donner le nombre lui-même n'hésitent pas.

Bonne chance et amusez-vous bien.

scarta · #2

On pose X entier positif quelconque, Y entier positif ou nul inférieur à 100

Le nombre de base: 100X + Y, son double: 200X + 2Y
Le nombre permuté: Y*10^a + X, où a est le nombre de chiffre de X
199X = Y*(10^a-2)
Y est inférieur à 100, et 199 est premier: PGCD (199,Y) = 1
Donc 10^a-2 est un multiple de 199
10^a-2 s'écrit 99999.......998, on va poser la division à la main: si on peut descendre le 8 et avoir un résultat entier, super, on s'arrêtera là, sinon on descend un 9. Un tableur pour aller plus, vite, et on trouve a = 97 (autrement dit, (10^97-2) est un multiple de 199

Du coup, X fait 97 chiffres et le nombre total 99, même si la case réponse me jette et je ne sais pas pourquoi.

Pour la suite X = Y * (10^97-2)/199. Vu que X doit faire 97 chiffres, Y >= [latex]\frac{10^{96}}{\frac{(10^{97}-2)}{199}}[/latex] donc Y >= 20 et le plus petit nombre est:

100.502.512.562.814.070.351.758.793.969
849.246.231.155.778.894.472.361.809.045
226.130.653.266.331.658.291.457.286.432
160.804.020

dont le double vaut

201.005.025.125.628.140.703.517.587.939
698.492.462.311.557.788.944.723.618.090
452.261.306.532.663.316.582.914.572.864
321.608.040

rivas · #3

Très bonne réponse de scarta, qui en plus me fait remarquer que je me suis trompé dans la case réponse, ça devrait être bon maintenant.

Bonne chance aux autres.

Promath- · #4

Mais ca marche pas ouin^^
8712 est bien le quadruple de 2178!!!!!!!!!!!!!!!
2178*4=8712, son inversé parfait!!!!!

Vasimolo · #5

Le nombre de départ s'écrit :
D=100x+y avec y un entier de deux chiffres et x un entier de n chiffres .

Le nombre d'arrivée :
A=10^ny+x .

La condition demandée pour le double s'écrit :
A=2D soit (10^n-2)y=199x

Comme 199 est premier il faut que 10^n-2 soit divisible par 199 ce qui se réalise la première fois pour n=97 . Si on note R=(10^n-2)/199 alors la condition s'écrit x=Ry . On peut choisir y au hasard et alors x vaut Ry .

Vasimolo

PS : il faut quand même vérifier que le nombre de chiffres de x est bien n

franck9525 · #6

~~arghhhh... j'y arrive pas !~~

2*Nab=abN with a et b de 0 à 9, et N un entier
[TeX]200N+20a+2b=N+10^{x}(10a+b)[/TeX]
avec [latex]x=E(Log10(N))+1[/latex]
c'est a dire quand N est entre 10 et 99 => x=2
N entre 100 et 999 => x=3
[TeX]199N=(10a+b)(10^x-2)=(10a+b)(999...9998)[/TeX]
N étant entier, 999...9998 doit être divisible par 199 (qui est premier)

je note que le reste de la division de 998/199 est 3
que 9998=998*10+18 donc 9998=(k199+3)*10+18=10k199+48

Je multiplie donc le reste de la division de 998/199 par 10 et ajoute 18 et répète le processus jusqu’à obtenir un reste divisible par 199.

[latex]10^{97}-2[/latex] = 99...(96 fois le chiffre 9)...998 est divisible par 199

ce qui donne [latex]N =\frac{(10a+b)(10^{97}-2)}{199}[/latex] et N contient 97 chiffres

Nab en contient donc 99 chiffres

La réponse est validée ! Eurêka quelle satisfaction car j'en ai bavé !

rivas · #7

Bonne réponse aussi de Vasimolo et de Franck.

Désolé pour le retard.
Je vais quand même donner ma solution car elle donne une astuce qui n'est pas dans les autres réponses.

Soit N un nombre de n chiffres, n > 2.
On écrit [latex]N=100a+b[/latex] avec [latex]b \in [0,99] \cap \mathbb{N} [/latex]et[latex] a \in \mathbb{N}[/latex]
Cherche donc à résoudre [latex]10^{n-2}b+a=2(100a+b)[/latex]
C'est à dire [latex](10^{n-2}-2)b=199a[/latex]

Voila où se situe l'astuce. On se ramène d'abord à une congruence à 1:
Soit (en multipliant par 100 de chaque coté): [latex]10^n \equiv 1 [199][/latex]
Comme 199 est premier [latex](\mathbb{Z}/198\mathbb{Z}^*, .)[/latex] est un groupe multiplicatif (on a même plus: [latex] (\mathbb{Z}/198\mathbb{Z}^*, +,.) [/latex]est un corps fini mais on n'a pas besoin d'une condition si forte).
Or dans un groupe fini, l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe.
Donc n divise 198. Ce qui réduit considérablement la recherche.
Les diviseurs de 198 sont au nombre de 12:
1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198
[TeX]
10^1 \equiv 10 [199]
10^2 \equiv 100 [199]
10^3 \equiv 1000 \equiv 5 [199]
10^6 \equiv ({10^3})^2 \equiv 25 [199]
10^9 \equiv 10^6 \times 10^3 \equiv 125 [199]
10^{11} \equiv 10^9 \times 10^2 \equiv 162 [199]
10^{18} \equiv ({10^9})^2 \equiv 103 [199]
10^{22} \equiv (10^{11})^2 \equiv 175 [199]
10^{33} \equiv 10^{22} \times 10^{11} \equiv 92 [199]
10^{66} \equiv (10^{33})^2 \equiv 106 [199]
10^{99} \equiv 10^{66} \times 10^{33} \equiv 1 [199]
[/TeX]
Donc n=99, N a 99 chiffres.
Comme [latex](10^{n-2}-2)b=199a[/latex], pour trouver le plus petit entier il suffit de prendre b=1 et n=99, on calcule a comme l'on fait ceux qui ont répondu (le plus simple est de poser la division) et le nombre N.

Comme vous l'avez compris, j'aime bien l'arithmétique.
Merci d'avoir joué.

MthS-MlndN · #8

Pourquoi n'ai-je pas eu l'idée de poser l'équation ? Je suis bête quand je veux...

rivas · #9

Mais non Mathias, mais non

MthS-MlndN · #10

Mais si, Rivas, mais si.

emmaenne · #11

Ce n'est pas "quand tu veux" Mathias

rivas · #12

Bon, si tu insistes

MthS-MlndN · #13

emmaenne a écrit:
Ce n'est pas "quand tu veux" Mathias

Va crever, toi

maroua · #14

Bonjour,
je cher che la solution pour :
MOT=3 *TOM+1
Il faut trouver les trois chiffre qui résoudent cette équation
TOm est bien évidement l'inverse de MOT
Merci d'avance

MthS-MlndN · #15

"résoudent" ? Ah ouais, quand même...

Allez, je te file un coup de main : http://lmgtfy.com/?q=solveur+cryptarithme&l=1

shadock · #16

maroua a écrit:
Bonjour,
je cher che la solution pour :
MOT=3 *TOM+1
Il faut trouver les trois chiffre qui résoudent cette équation
TOm est bien évidement l'inverse de MOT
Merci d'avance

J'ai aussi décidé de faire un peu plus de grammaire. Ne dites pas "en résoudent", dites plutôt : "en résolvant".

NB : Mathias

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#1 - 16-09-2010 11:34:41

Rotation de hciffres

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#2 - 16-09-2010 15:29:41

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#3 - 16-09-2010 17:28:04

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#10 - 22-09-2010 09:24:39

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#11 - 22-09-2010 12:03:31

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#13 - 22-09-2010 13:49:53

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emmaenne a écrit:

#14 - 01-01-2011 18:21:53

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#16 - 01-01-2011 18:45:06

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maroua a écrit:

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