Ce n'est pas la bonne explication.

En arrivant à 1=-1, qui est une contradiction, on en déduit que l'équation de départ n'a pas de solution.
Et pas besoin de passer par l'élévation au carré, il suffit de simplifier par x dans l'équation de départ ...

Très juste C'est une question qui est d'ailleurs plus intéressante que celle qui est posée

Hmm, je ne suis pas sûr de comprendre...

Pour moi, l'erreur viens du fait que l'équation de départ n'a pas de solution (les 2 droites y=x+1 et y=x-1 sont // )

Sinon, l'implication de chaque ligne à la suivante est respectée, la solution aurait pu donc être valable...

Sinon, j'ai dans le même genre : par exemple x=racine(x²+x+1),
alors x²=x²+x+1
et donc x=-1,
Conclusion : -1=racine(1)=1 (mais les deux courbes ne se coupent pas, où encore racine(x²+x+1)>x). Cela dit, je ne vois d'erreur de raisonnement.

Il n'y a pas d'erreur dans le raisonnement. Pourquoi on ne pourrait pas élever au carré deux membres d'une égalité.
C'est vrai que le résultat est faux
Au fait, il manque quelques choses dans ce raisonnement. Trouve-le

Hello,
Comme il a été dit plus haut:

Résoudre l'équation
(1) x+1=x-1
En élevant au carré, on a
(2) (x+1)²=(x-1)²

Ici c'est une implication, autrement dit ceci signifie que les solutions  de (1) sont incluses dans les solutions de (2) mais en aucun cas que les solutions de (2) sont des solutions de (1) par conséquent dire que 0 est solution de (2) est tout à fait correct mais l'injecter dans (1) est faux.

Le raisonnement aurait du tenir compte de cette implication à sens unique en continuant ainsi:
"Il n'y a qu'une seule solution à (2) par conséquent (1) admet soit 0 soit cette solution, en la testant on voit qu'elle ne vérifie pas l'égalité, conclusion (1) n'a pas de solution".

Sinon, l'implication de chaque ligne à la suivante est respectée, la solution aurait pu donc être valable...

@Golgot59: non

On est là encore une fois dans le B A BA de la logique : faux implique n'importe quoi !

@Vasimolo:Oui mais c'est pas le probleme ici.

ra_doda, pourquoi ne peut on pas elever au carré en gardant le ssi?
car f(x)=x² n'est pas une bijection sur R.

pour la faire courte, et illustrer les propos de Clydevile:

a=b => a²=b² mais a²=b² => pas forcément (a=b)
en effet, a²=b² => a=b OU a=-b

..
@Clydevil : Je pense que vasimolo a raison ! X-1=X+1 implique -1=1 .. on a même l'equivalence.
en partant d'un résultat faux on peut arriver à un résultat faux ou juste.

Azdod

MOSTZ a écrit:

ra_doda, pourquoi ne peut on pas elever au carré en gardant le ssi?
car f(x)=x² n'est pas une bijection sur R.

pour la faire courte, et illustrer les propos de Clydevile:

a=b => a²=b² mais a²=b² => pas forcément (a=b)
en effet, a²=b² => a=b OU a=-b

C'est plutôt à vous que j'accorde la raison. Il fallait citer la condition que x+1 et x-1 aient le même signe. Soit X<=-1 soit X>=1 ainsi 0 ne seraa jamais solution de l'a première équation. Comme si vous avez des équations avec des radicaux. Boffffffff

Il fallait citer la condition que x+1 et x-1 aient le même signe.

Pas convaincu par cette explication. On peut écrire n'importe quelle équation du genre A=B sans en avoir rien à faire que cette équation puisse être vraie ou pas, puisqu'en maths comme dans la vie, on a le droit d'écrire des trucs faux. Je peux écrire l'équation réelle x^2=-3 si je le veux. Elle n'admet pas de solution, mais en tant qu'équation, elle existe et j'ai le droit de l'écrire.

Et logiquement, l'équation x+1=x-1 (que je peux écrire) est équivalente à l'équation 1=-1, qui est toujours fausse, d'où je déduis que l'équation x+1=x-1 est fausse indépendamment de la valeur de x.

Si je "vérifie que les deux membres ont le même signe", d'une part, c'est seulement pour éliminer d'office certaines valeurs de x qui ne sont "évidemment" pas solution (mais je pourrais trouver des milliards d'autres critères nécessaires mais non suffisants). D'autre part, x+1 et x-1 sont de même signe pour tout x n'appartenant pas à l'intervalle ]-1;1[.

Et, finalement, on dit "comme si vous aviez" et non "comme si vous avez".

shadock a écrit:

Donc je ne vois pas l'utilité de ce sujet et encore moins d'une bijection sur [latex]\mathbb{R}[/latex].

La première partie de cette phrase est un jugement qui ne vaut que pour toi.

Pour le coup de la bijection, rappelons que le problème de base est "je pars d'une équation et j'arrive à en trouver des solutions qui me donnent 1=-1". Le fait que l'équation de départ est fausse pour tout x disparaît en cours de route, puisqu'on parvient à en trouver des solutions ; il est normal que ces solutions donnent un résultat absurde.

La question qui s'ouvre alors est : comment a-t-on fait pour qu'une équation qui n'a pas de solutions se mette à en avoir, comme ça, sur un coup de tête ? Où a-t-on "inventé" des solutions de l'équation ? Et le post de Mostz répond parfaitement à cette question.

Aucun problème

De MthS-MlndN

Pas convaincu par cette explication. On peut écrire n'importe quelle équation du genre A=B sans en avoir rien à faire que cette équation puisse être vraie ou pas, puisqu'en maths comme dans la vie, on a le droit d'écrire des trucs faux. Je peux écrire l'équation réelle x^2=-3 si je le veux. Elle n'admet pas de solution, mais en tant qu'équation, elle existe et j'ai le droit de l'écrire.

Ça me fait plaisir que quelqu'un d'autre partage mon point de vu.

De Azdod

@Clydevil : Je pense que vasimolo a raison ! X-1=X+1 implique -1=1 .. on a même l'equivalence.

He bien non ce n'est pas le probleme, ce n'est pas la première équation sans solution que le monde posera et encore moins la dernière, et c'est parfaitement autorisé, et je soulignerais même que ca n'implique pas -1=1, ca doit se lire "existe-t-il X tel que" ou "soit X appartenant a l'ensemble des X vérifiant "X-1=X+1"", après comme je l'ai dit plus haut, ca donnera une démonstration par l'absurde, on fera l'hypothèse que telle quantité existe, on aboutira à un résultat aberrant, on conclura que l'hypothèse était fausse. Voir ma première réaction plus haut, dont je préfère la formulation.

MthS-MlndN a écrit:

Et logiquement, l'équation x+1=x-1 (que je peux écrire) est équivalente à l'équation 1=-1, qui est toujours fausse, d'où je déduis que l'équation x+1=x-1 est fausse indépendamment de la valeur de x.

Puisqu'on est beaucoup sur la sémantique dans ce post, je me vois obligé de chipoter Bien que j'apprécie toujours les posts de Mathias, je suis un peu gêné par cette partie pour plusieurs raisons.

-1=1 n'est pas une équation. C'est une expression dont la valeur de vérité est (toujours) fausse.
Lorsque l'on écrit que "x-1=x+1 est équivalente à -1=1", on écrit que l'ensemble des nombres représentés par x ci-dessus pour lesquels les 2 expressions ont la même valeur de vérité sont les mêmes (les ensembles de nombres). On appelle cet ensemble commun, l'ensemble des solutions. Dans ce cas, c'est l'ensemble vide.

On ne peut donc pas écrire qu'une équation est "fausse" puisqu'une équation n'a pas de valeur "booléenne". Ce qui peut être faux c'est l'expression obtenue en substituant un nombre à l'inconnue (aux différentes inconnues).
Il faut donc lire: l'expression x+1=x-1 est fausse indépendamment de la valeur de x pour X réel (ou complexe), ou plus simplement l'expression x+1=x-1 est toujours fausse. L'ajout du mot toujours renvoie à la substitution de l'inconnue par tous les nombres (de l'ensemble de recherche).

Il est important de préciser à quel ensemble on se restreint (Z, R ou C). C'est par défaut R ou C mais c'est une convention et il peut-être bon de le préciser.
En effet, cette équation à plusieurs solutions non réelles comme par exemple le nombre transfini [latex]\aleph_0[/latex]. On voit l'utilité de préciser l'ensemble sur lequel on cherche les solutions.

[/chipotage]