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#1 - 23-11-2012 14:51:49
- titoufred
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Bêtse et Pièges (2)
Les bêtes sont revenues et elles ont muté !
Votre jardin est une grille de 5x5 cases. Il vous faut y poser quelques pièges (en noir : 1 case) pour éviter qu'une bête (en rose : 3 cases) puisse s'installer dans le jardin. La bête peut s'installer dans n'importe quel sens.
Combien de pièges devez-vous disposer au minimum ?
Etes-vous sûr que vous ne pouvez faire moins ?
PS : Quand vous serez bien sûrs de ne pas pouvoir faire mieux au 5x5, vous pourrez vous attaquer au grand modèle : le modèle 7x7 !
#2 - 23-11-2012 15:21:09
- racine
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Bêtes et Pièges 2)
Je tente ça sans trop y croire (pas beaucoup réfléchi):
Il faut deux pièges par carré 2*2. Je ne vois pas comment faire moins.
#3 - 23-11-2012 15:58:42
- godisdead
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Bêtes e tPièges (2)
Dans tous carrés 2*2, il faut 2 pièges, donc il faut faire un damier de piège. Pour un 5*5, ça donne 2+3+2+3+2 = 12 pièges Pour le 7*7, ça donne 3*4+4*3 = 24 pièges.
#4 - 23-11-2012 16:02:50
- Franky1103
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bêted et pièges (2)
Les bêtes ont mutés, mais j'en suis aussi à huit pièges pour le 5x5, mais disposés autrement.
o x o x o o x o x o o x o x o o x o x o o o o o o
Pour le 7x7, j'en serai alors à 18 pièges. Et pour un NxN (N impair), ce sera: (N-1)²/2.
#5 - 23-11-2012 16:58:36
- golgot59
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Bêtes et Piège s(2)
Modèle 5x5 : la 2ème et la 4ème ligne de pièges, soit 10 pièges. Modèle 7x7 : Les 2ème, 4ème et 6ème lignes, soit 21 pièges.
#6 - 23-11-2012 17:01:22
- Passetemps
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Bêtes et PPièges (2)
La bête ne passera pas.
Peut-on faire moins ?
#7 - 23-11-2012 17:08:34
- gwen27
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Bêtes et Pièges (22)
Je dirais 10 et 21...
#8 - 23-11-2012 18:29:45
- nodgim
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Bêtes et Pièegs (2)
Sur un échiquier, le tromino ne peut être posé sans couvrir 1 blanche et 1 noire. La déduction me semble immédiate: en piègeant soit toutes les cases blanches soit toutes les noires, on règle le problème. Difficile de faire mieux.
#9 - 23-11-2012 18:53:33
- titoufred
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Bêtes et ièges (2)
La probabilité qu'une personne se trompe en répondant à cette énigme est de 1/2. Non, je rigole c'est 3/7 en vrai. Non, je rigole.
A tous ceux qui ont trouvé la bonne réponse, je vous propose comme challenge de prouver qu'on ne peut faire moins.
A tous ceux qui n'ont pas trouvé la bonne réponse, je vous propose de prouver qu'on ne peut faire moins que ce que vous avez proposé.
#10 - 23-11-2012 20:15:05
- elpafio
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Bêtes e Pièges (2)
Pour le jardin 5x5:
#11 - 23-11-2012 21:56:27
- gwen27
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Bêtess et Pièges (2)
Pas trop dur ça...
Admettons (pour le 5x5) , 9 pièges... Ils sont répartis par 2 en zones de 4 cases, et il en reste 1 au coin. Et donc des 0 dans les autres cases.
De fil en aiguille, il est évident que 9 pièges => 10 pièges.
#12 - 23-11-2012 22:43:22
- Azdod
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Bêtes et Piègess (2)
Sur le modèle 5x5, je pense à 10 pièges ! dans la deuxième et la quatrième ligne ou colonne
"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
#13 - 23-11-2012 22:54:12
- titoufred
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Bêtes et Pièegs (2)
Bravo gwen ! J'ai raisonné exactement comme toi.
Mais ce n'est pas très détaillé, je ne suis pas sûr que tout le monde comprenne le raisonnement... C'est le passage de l'image 1 à la 2 qui est important (les images 3 et 4 ne servent pas d'ailleurs).
#14 - 24-11-2012 00:17:45
- godisdead
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Bêtes et Pièges 2()
Bon, je reprends ma théorie de départ : Dans tous carrés 2*2, il faut 2 pièges, donc il faut faire un damier de piège.
Mais je reflechis un peu, si je fais deux bandes sur les colonnes 2 et 4, je reponds à mon affirmation et je fais mieux que le damier.
Donc 10 pièges pour le 5*5 et 21 pièges pour le 7*7 (colonne 2/4/6)
#15 - 24-11-2012 07:19:07
- gwen27
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Bêtes eet Pièges (2)
Un autre manière de voir les choses est une récurrence :
#16 - 24-11-2012 11:39:24
- titoufred
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#17 - 24-11-2012 14:28:42
- golgot59
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Bêtes et Pièges (2))
Etape 1/ Commençons par étudier un carré de 2 par 2, que j'appellerai élémentaire jusqu'en bas de mon post.
Comme on peut le voir sur le schéma ci-dessous, placer un seul piège est insuffisant. Il en faut au moins 2, placés au choix comme dessiné sur les deux carrés suivants, à une rotation près.
Si je considère un carré de taille de côté 2n, je pourrais alors le découper en petits carrés élémentaires. J'aurai alors n² carrés élémentaire contenant chacun 2 pièges, qui m'imposera donc un minimum de 2n² pièges. Voici un exemple de carré avec n=4 et donc de longueur de côté 2n=8.
Ma solution consistant à mettre des pièges une ligne sur 2 contient 2n piège par ligne sur n lignes, donc 2n² pièges, qui est la quantité minimum, elle est donc optimale. Exemple avec n=4 à nouveau :
Etape 2/ Si je considère maintenant un carré de côté 2n+1, alors je peux le découper de la manière suivante, qui m'impose aussi 2n² pièges pour les carrés élémentaires, plus chaque angle créé (ou j'ai représenté des x) qu'il faut que je piège. Si je compte ces angles, j'en trouve 2n-1 (je pourrai fournir un dessin pour le prouver si nécessaire).
Pour optimiser mes pièges, je peux en utiliser 1 pour verrouiller 2 angles à la fois (en les plaçant aux carrés rouges), mais il m'en restera forcément un tout seul à la fin puisque 2n-1 angles est un nombre impair (voir la croix rouge en bas à droite de l'exemple de droite).
Conclusion, il faudra que j'ajoute au minimum n pièges à ceux présent dans mes carrés élémentaires, c'est à dire 2n²+n.
Si je reviens à notre exemple d'un carré de 7 par 7 (donc avec n=3), j'obtiens un nombre minimum de 2*3²+3=21 pièges. Comme ma proposition de placer des pièges une ligne sur 2 en commençant par la deuxième en contient justement 21, elle est optimale !
J'espère avoir été complet ce coup-ci.
#18 - 24-11-2012 14:55:03
- titoufred
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Bêtes et Pièges ((2)
Oui golgot bravo, belle démonstration !
#19 - 25-11-2012 16:21:03
- titoufred
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Bêtes et Piièges (2)
@godisdead, nodgim : On peut faire mieux
@Franky1103 : Des bêtes peuvent s'installer dans ton jardin.
@passetemps, elpafio, Azdod : Et le 7x7 ?
#20 - 25-11-2012 21:29:08
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#21 - 25-11-2012 22:13:02
- Franky1103
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bêtes et piègzs (2)
@titoufred: Ah bon ! Les bêtes sont donc "articulées" ?
#22 - 25-11-2012 22:32:34
- Passetemps
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Bêtes et Piègess (2)
Voilà pour le 7x7
Cela suffit-il ?
#23 - 25-11-2012 23:24:01
- titoufred
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Bêtes et Piège (2)
@Franky1103 : non les bêtes ne sont pas articulées, mais 8 pièges ne suffisent pas.
#24 - 26-11-2012 15:15:17
- godisdead
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Bêtes et ièges (2)
godisdead a écrit:Bon, je reprends ma théorie de départ : Dans tous carrés 2*2, il faut 2 pièges, donc il faut faire un damier de piège.
Mais je reflechis un peu, si je fais deux bandes sur les colonnes 2 et 4, je reponds à mon affirmation et je fais mieux que le damier.
Donc 10 pièges pour le 5*5 et 21 pièges pour le 7*7 (colonne 2/4/6)
titoufred a écrit:@godisdead, nodgim : On peut faire mieux
@Franky1103 : Des bêtes peuvent s'installer dans ton jardin.
@passetemps, elpafio, Azdod : Et le 7x7 ?
???
#25 - 26-11-2012 15:35:03
- Franky1103
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Bêtes ett Pièges (2)
Je n'avais pas compris que les bêtes (non articulées) pouvaient toutefois s'orienter.
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