Ca ressemble à un des problèmes de ce mois ci de diophante
Ceci dit j'ai trouvé pareil que toi ^^

Je crois que je n'ai pas compris la question.
Si je prends les multiples de 100, c'est pas gagné non plus

Oui j'aurais dû le citer, j'espère que Mr Diophante ne m'en voudra pas.
Si l'intuition semble partagée, le plus difficile reste à faire avec la preuve...

Pour Godistead: le 100 est inclus dans les multiples de 20.

D'un autre coté, si ton nombre n'est pas premier avec 10, il s'écrit donc avec au moins 1 zéro. Si 1 seul zéro, alors il a les mêmes multiples si on le divise par 10, au zéro final près donc.

Moi j'ai seulement trouvé que c'est vrai pour les nb premiers. Comme ici la recherche est commune, je présente la démarche:

Soit le nombre 989898.....qu'on divise par notre nombre premier P. Soit au bout d'un moment on tombe sur un reste nul: c'est fini. Sinon, tous les nombres compris entre 1 et P-1 sortiront comme reste. Quand on aura un reste composé seulement de nombres pairs, alors il suffit d'ôter chiffre à chiffre à ...98989..la différence pour avoir un reste nul, et donc on aura trouvé un multiple avec chiffres à parité alternée.

Es tu sûr cependant que les 2 restes vont tomber sur le même final ? Le 1er reste pourrait être celui de la division de 9898....8 et le second 9898...9, auquel cas la soustraction ne donnerait pas des zéros.

Bon j'ai fini ma démo, je la mets au propre et je l'envoie d'ici ce soir (si j'ai le temps). En gros j'ai réussi à démontrer que toutes les puissances de 2 et de 5 admettent un multiple, combiné au résultat que j'avais déjà ça tombe tout seul

Plus fort encore
- Tout nombre premier avec 10 admet un multiple qui ne comporte que des 1.
- Tout nombre tout court admet un multiple constitué  d'une suite de 1 suivie d'une suite de 0
(C'est pareil)

Alors, la démo du bidule:
1. Une puissance de 5 admet un tel multiple: on l'obtient avec l'algo suivant
On numérote les chiffres à partir de la droite en commençant par 0.
Soit N=5^n, et M=N
On regarde quel est le premier chiffre de M de même parité que le chiffre à sa droite, c'est le ième. Tant que i<n, on ajoute N.10^i (autrement dit on change la parité du ième chiffre en y ajoutant 5); et on recommence.
Quand i >=n, alors on ne garde que les n derniers chiffres de M (on enlève les autres, multiples de 10^n et donc de 5^n)

2. Une puissance de 2 admet un tel multiple: on l'obtient avec l'algo suivant

On numérote les chiffres à partir de la droite en commençant par 0.
Soit N=2^n, et M=N. On définit Q tel que:
- Q=N si les chiffres des dizaines et des unités de N n'ont pas la même parité
- Q=6N si N finit par 2
- Q=3N si N finit par 4
- Q=2N sinon
(Q est alors un multiple de N dont le chiffre des dizaines est impair)
On regarde quel est le premier chiffre de M de même parité que le chiffre à sa droite, c'est le ième. Tant que i<n, on ajoute Q.10^(i-1) (autrement dit on change la parité du ième chiffre en y ajoutant un chiffre impair et pas celle du i-1ème puisqu'on y ajoute un chiffre pair); et on recommence.
Dans le cas où ça ne changerait pas la parité du ième chiffre (ex: 18 + 36 = 54 à cause de la retenue); c'est pas grave étant donné qu'en répétant l'opération au plus 5 fois, il y a forcément une fois où il n'y aura pas de retenue (le dernier chiffre de Q est au plus 8, et 8*5=40 donc seulement 4 dizaines de plus, donc 4 retenues, sur 5 opérations).
Quand i >=n, alors on ne garde que les n derniers chiffres de M (on enlève les autres, multiples de 10^n et donc de 5^n)

3. Tout nombre non divisible par 20 admet un tel multiple:
Cas 1. N impair non multiple de 5: on a vu qu'on peut construire un multiple de N qui répète une séquence: on n'a qu'à prendre 1010101...010101
Cas 2. N impair multiple de 5: N=a*5^b, on regarde quel est le multiple M qui marche pour 5^b, et on cherche un multiple de a qui s'écrit uniquement avec M pour séquence (NB. si N commence par un chiffre impair, on intercalera des 0 entre chaque)
Cas 3. N pair non multiple de 5: N=a*2^b, pareil que précédemment
Cas 4. N multiple de 2 et de 5: N=10*k, avec k impair sinon N multiple de 20. Le cas 1 (ou 2) nous donne un multiple de k qui se termine par un chiffre impair, on y ajoute un 0

9765625
Je lis de droite à gauche en numérotant le chiffre des unités '0'.
5 2 6 STOP 6 et 2 sont de même parité, j'ajoute 976562500

986328125
5 2 1 8 2 STOP, j'ajoute 97656250000

98642578125
5 2 1 8 7 5 STOP, j'ajoute 976562500000

1075205078125
5 2 1 8 7 0 5 0 2 STOP, j'ajoute 976562500000000

977637705078125
5 2 1 8 7 0 5 0 7 7 STOP, j'ajoute 9765625000000000

10743262705078125
5 2 1 8 7 0 5 0 7 2 => dix derniers chiffres ok, pas la peine d'aller plus loin.

2705078125 = 5^10 * 277 avec une parité alternée pour chacun des chiffres

Parce que je stoppe après n chiffres corrects (et pas tout le nombre), et donc il me faudra au maximum n-1 étapes (chaque étape me fait forcément progresser d'au moins un chiffre).

D'après mes souvenirs, il y a de l'arithmétique en prépa, mais la plus grande partie des maths c'est essentiellement de l'algèbre et de l'analyse. Mais oui, il y en a.

Parmi les plus sympas, tu trouveras:
- le petit théorème de Fermat: si p est premier et a n'est pas un multiple de p, alors a^p - a est divisible par p
- le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet: si a et b sont premiers entre eux et a<b; il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b
- le théorème des restes chinois: si n%a=x, n%b=y, n%c=z, etc... quelles sont les valeurs de n
- les résidus quadratiques et le critère d'Euler: un résidu quadratique modulo N est un nombre a tel qu'il existe b avec b²=a modulo N. Par exemple  4 est un résidu quadratique de 5 (parce que 3*3 = 9 = 4 modulo 5), mais pas 3. Le critère d'Euler dit que si N est premier impair, alors a^((N-1)/2) vaut 1 si a est un résidu quadratique de N et -1 sinon; dans l'exemple 3^2 = 9 = -1 modulo 5, et 4^2 = 16 = 1 modulo 5
- réciprocité quadratique: si p et q sont premiers, différents et congrus à 3 modulo 4, alors p est un résidu quadratique de q si et seulement si q n'est pas un résidu quadratique de p; et si p et/ou q est congru à 1 modulo 4 alors p est un résidu quadratique de q si et seulement si q est un résidu quadratique de p


Il y en a plein d'autres, mais c'est ceux qui m'ont vraiment marqués

J'y avais pensé, mais la conjecture de Syracuse n'est pas "enseignée" dans le programme de prépa (à la rigueur mentionnée des fois), et les équations diophantiennes sont enseignées au lycée.
Et la fonction Zeta est très liée à l'arithmétique mais elle est quand même enseignée en analyse à la base puisqu'on l'approche sous sa forme de série.

Par contre la fonction indicatrice est très riche en effet !!
Je lisais d'ailleurs récemment un très bon papier sur la manière de résoudre l'équation en X phi(X) = N (autrement dit comment calculer les inverses de la fonction)
http://www.dli.gov.in/rawdataupload/upl … a81_22.pdf