Est-ce qu'on a le droit à des coefficients binomiaux nuls ?

3 coefficients en progression arithmétique :

Dans le cas où que des 0 sont autorisés :
On a {0, 0, 0}

Dans le cas où il n'y a pas que des 0 :

On pourra considérer par symétrie qu'on ne commence pas le triplet solution par un 0. En effet si {0, 1, 2} est une solution alors {2, 1, 0} aussi.

Pour la suite, on considère [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] deux entiers naturels avec [latex]m \leq n[/latex].

On a [latex]{n \choose m+1} = {n \choose m} \times \frac{n-m}{m+1}[/latex]

donc [latex]{n \choose m+1} - {n \choose m} = {n \choose m} \times \frac{n-2m-1}{m+1}[/latex]

Par conséquent,
[TeX]{n \choose m}, {n \choose m+1}[/latex] et [latex]{n \choose m+2}[/latex] sont en progression arithmétique

[latex]\Longleftrightarrow {n \choose m+2} - {n \choose m+1} = {n \choose m+1} - {n \choose m}[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow {n \choose m+1} \times \frac{n-2m-3}{m+2} = {n \choose m} \times \frac{n-2m-1}{m+1}[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow {n \choose m} \times \frac{n-m}{m+1} \times \frac{n-2m-3}{m+2} = {n \choose m} \times \frac{n-2m-1}{m+1}[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow (n-m)\times (n-2m-3) = (n-2m-1) \times (m+2)[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow 4m^2+(8-4n)m + (n^2-5n+2) = 0[/TeX]
On obtient donc une équation du second degré en [latex]m[/latex] et dont les solutions sont
[TeX]m=\frac{n-2\pm\sqrt{n+2}}2[/TeX]
On voit donc qu'il faut (et qu'il suffit) que [latex]n+2[/latex] soit un carré pour avoir des solutions. On obtient donc une infinité de triplets solutions.

Par exemple on choisit un carré, disons 9, ce qui donne [latex]n=7[/latex] et [latex]m=1[/latex] pour le triplet {7, 21, 35} (ou [latex]m=4[/latex] pour le triplet symétrique {35, 21, 7}).


4 coefficients en progression arithmétique :

Dans le cas où que des 0 sont autorisés :
On a {0, 0, 0, 0}

Dans le cas où quelques 0 sont autorisés :

D'après l'étude précédente, il n'y a au plus que 2 triplets solutions pour une ligne donnée, et ces triplets ont des raisons opposées. Il n'y a donc pas de quadruplet solution.

Effectivement, pour déterminer le nombre total et le nombre choisi, il semble qu'il faille suivre une suite (je ne sais pas comment elle s'appelle)

On fait +7 , +9, +11, +13 ..... pour le cardinal de l'ensemble
Et on fait : + 3 , +4 , +5 ... pour celui des éléments

On a donc une série de 3 pour C(7,1) et les deux qui suiventC(7,2)et C(7,3) 
(+ les symétriques 4 , 5 , 6))

La suivante à partir de C(14,4)
La suivante à partir de C(23,8)
La suivante à partir de C(34,13)
La suivante à partir de C(47,19)
La suivante à partir de C(62,26)
La suivante à partir de C(79,34)

....

Titou, y a un petit souci, c'est n, n+1 et n+2 éléments parmi m.

J'adore quant on réponds à mes questions ça fait toujours plaisir!

m!/(n!*(m-n)!)+R=m!/[(n+1)!*(m-n-1)!]
n+1+R(n+1)!(m-n)!/m!=m-n

R=(m-2n-1).m!/[(n+1)!(m-n)!]

Puis

m!/[(n+1)!*(m-n-1)!]+R=m!/[(n+2)!*(m-n-2)!]
n+2+R(n+2)!(m-n-1)!/m!=m-n-1

R=(m-2n-3).m!/[(n+2)!(m-n-1)!]

On rassemble : R=R
(m-2n-1).m!/[(n+1)!(m-n)!]=(m-2n-3).m!/[(n+2)!(m-n-1)!]
(m-2n-1)(n+2)=(m-2n-3)(m-n)
mn+2m-2n²-4n-n-2=m²-mn-2mn+2n²-3m+3n
4mn-4n²-m²+5m-8n-2=0

-4n²+n(4m-8)+(5m-m²-2)=0 équation (1) en n.

On pose m=3 au hasard et alors : -4n²+4n+4=0
Delta=16+64=80 mais on veut un carré parfait :

avec m=4 : -4n²+8n+2=0
Delta = 64+32=96

...

m=7 : -4n²+20n-16=0
Delta= 400-256=144=12² bingo !
n1=(-20-12)/(-8)=4
n2=(-20+12)/(-8)=1

Ça fonctionne donc :
Pour C(7,1)=7; C(7,2)=21; C(7,3)=35
Et pour C(7,4)=35; C(7,5)=21; C(7,6)=7

Ensuite m=8 : -4n²+24n-26=0
Delta=160

...

m=14 delta=256 bingo !
n1=8
n2=4
Ça fonctionne donc :
Pour C(14,4)=1001; C(14,5)=2002; C(14,6)=3003
Et pour le symétrique en démarrant de 8

...

m=23 delta=400
n1=13
n2=8
Ça fonctionne donc :
Pour C(23,8)=490 314; C(23,9)=817 190; C(23,10)=1 144 066
Et pour le symétrique en démarrant de 13

...

m=34 delta=576
n1=13
n2=19
Ça fonctionne donc :
Pour C(34,13); C(34,14); C(34,15)
Et pour le symétrique en démarrant de 19

Je remarque que :
Delta=(4m-8)²-4*(-4)*(5m-m²-2)
=4²[(m-2)²+(5m-m²-2)]
=4²(m+2)

J'ai besoin d'un carré parfait, donc que m+2 soit un carré parfait, ce qui est le cas pour m+2=3², donc m=7
m=4²-2=14
m=5²-2=23

Je retombe bien sur mes valeurs précédentes !

La règle est donc de prendre m=a²-2 quelque soit a entier >2.

Du coup, mon équation (1) : -4n²+n(4m-8)+(5m-m²-2)=0 devient :
-4n²+n[4(a²-2)-8]+[5(a²-2)-(a²-2)²-2]=0
-4n²+4n[a²-4]+(-a^4+9a²-16)=0
delta=16(a²-4)²-4*(-4)*(-a^4+9a²-16)=16(a^4-8a²+16-a^4+9a²-16)=16a²
racine(delta)=4a
n1=[-4(a²-4)-4a]/-8=(a²-4-a)/2
n2=(a²-4+a)/2

Finalement : On choisi a>3 tel que a est entier, et on a alors :
C(a²-2,a²/2-a/2-2); C(a²-2,a²/2-a/2-1) et C(a²-2,a²/2-a/2) en progression arithmétique, ainsi que :
C(a²-2,a²/2+a/2-2); C(a²-2,a²/2+a/2-1) et C(a²-2,a²/2+a/2)

Désolé pour le pavé !

Golgot ça semble bon.
Pourrais tu reformuler avec un "a" qui commence à 1 ? Ce serait parfait.

Si je veux démarrer à 1, il faut que je choisisse un a'=a+2 qui démarre à 1, c'est juste un décalage !

La règle est alors de prendre m=(a+2)²-2=a²+4a+2 quelque soit a entier.

Du coup, on trouve : racine(delta)=4(a+2)
n1=(a²-4-a)/2=(a²+4a+4-4-a-2)/2=(a²+3a-2)/2
n2=(a²-4+a)/2=(a²+4a+4-4+a+2)/2=(a²+5a+2)/2

Finalement : On choisi a entier, et on a alors :
C(a²+4a+2,a²/2+3a/2-1); C(a²+4a+2,a²/2+3a/2) et C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+1) en progression arithmétique, ainsi que :
C(a²+4a+2,a²/2+5a/2+1); C(a²+4a+2,a²/2+5a/2+2) et C(a²+4a+2,a²/2+5a/2+3)

Et voilà !

C'est OK Golgot.
J'ai une démo plus courte pour 4. Pourtant c'est la même démarche, mais j'ai simplifié au maximum.

Quelques réponses pour trois combinaisons successives:

C(7,1) =  7     C(7,2) = 21     C(7,3) = 35
Progression arithmétique de 14

C(7,4) = 35     C(7,5) = 21     C(7,6) =  7
Progression arithmétique de -14
On remarque que 1 + 6 = 7

C(23,8) = 490314      C(23,9) = 817190     C(23,10) = 1144066
Progression arithmétique de 326876

C(23,13) = 1144066      C(23,14) = 817190     C(23,15) = 490314
Progression arithmétique de -326876
On remarque que 8 + 15 = 23

C(34,13) = 927983760   C(34,14) = 1391975640     C(34,15) = 1855967520
Progression arithmétique de 463991880

C(34,19) = 1855967520   C(34,20) = 1391975640     C(34,21) = 927983760
Progression arithmétique de -463991880
On remarque que 13 + 21 = 34

D'autres:
C(47,19)    C(47,20)    C(47,21)

C(47,26)    C(47,27)    C(47,28)

19 + 28 = 47

Il doit y avoir quelque chose à démontrer sur le sujet...
Je laisse ça aux vrais matheux

Merci à tous les participants qui, par leur approche personnelle, ont tous donné la solution complète ou une partie d'entre elle.
Je voudrais juste montrer une remarquable propriété de l'ensemble des solutions.
Soit le triplet solution (A, A*x, Ax*y). Si on s'intéresse uniquement au couple (x,y) et qu'on les prenne dans l'ordre croissant des solutions , voici ce que ça donne, après bien sûr simplification partielle des fractions:
(3/1)(5/3)
(4/2)(6/4)
(5/3)(7/5)
(6/4)(8/6)
(7/5)(9/7)
(8/6)(10/8)
.....
Etonnant, non ?

Et en faisant le produit x*y:
(5/1)
(6/2)
(7/3)
(8/4)
(9/5)
....

De mon temps, avec n l'ensemble et p la partie on notait:
[TeX]p \choose n[/TeX]
Maintenant les modernes écrivent:
[TeX]n \choose p[/TeX]
Il y a sûrement une bonne raison - que j'ignore-

Avec une énigme pleine de n,m,p c'est troublant pour la lecture d'un vieux dans mon genre.