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#1 - 24-02-2012 15:00:55
- Promath-
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cpncours griego 5&6
J'annonce le concours Griego ouvert! Il y a 2 parties dans la section mathématiques et 1 partie dans la section logique. Il y a 2 questions par parties, car vous devez au moins répondre à 4 questions pour faire parti du concours. Vous indiquerez vos réponses sous forme claire, sans mélanger les 2 problèmes.
1-Les faces d’un pavé droit on des aires de 32 cm², 18 cm² et 4cm². Quel est le volume du pavé ?
2-Sur les 8 plateaux de ce système, on a placé des poids de 1 à 8 KGs. Le système gravite en équilibre, et le centre de gravité se trouve au milieu. Replacez les 8 poids. Si vous pensez que c'est impossible, écrivez 0.![http://img694.imageshack.us/img694/1539/carroussel.png](http://img694.imageshack.us/img694/1539/carroussel.png)
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#2 - 24-02-2012 16:04:05
- halloduda
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Cocours Griego 5&6
1 48
Si les arêtes sont a, b, c, on connaît les produits deux à deux. Le volume est [latex]abc=\sqrt{ab.bc.ac}=\sqrt{32.18.4}=48\,cm^3[/latex]
2 0
Il n'existe pas de solution. Si le cercle des centres a pour rayon [latex]\sqrt2[/latex], l'égalité des moments par rapport à un diamètre s'écrit : [TeX]a+b\sqrt2=c+d\sqrt2[/TeX] Impossible avec a, b, c, d entiers et b≠d.
#3 - 24-02-2012 16:09:06
- shadock
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Conours Griego 5&6
Exercice 5 :
Ca nous fait un pavé de côté x, y et z que l'on cherche pour trouver sont volume. On a donc (j'ajouterai une figure si tu veux) un système linéaire de trois équations à deux inconnues telles que : [TeX]x*y=32[/TeX] [TeX]y*z=4[/TeX] [TeX]z*x=18[/TeX] On abouti à plus ou moins [latex]x=12[/latex] [latex]y=\frac{8}{3}[/latex] et [latex]z=\frac{3}{2}[/latex].
Le volume du pavé est donc [latex]V_{pavé}=xyz=48 \text{ } cm^3[/latex]
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#4 - 24-02-2012 16:20:51
- Jackv
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Concours Grieggo 5&6
1 - le volume est égal à la racine carrée du produit des aires, soit 48 cm3. On peut en déduire les 3 dimensions en divisant cette valeur par chacune des surfaces.
2 - Pour qu'il y ait équilibre selon n'importe quel axe passant par le centre du système il faut et il suffit qu'il y ait équilibre par rapport à 2 axes non confondus, par exemple un axe horizontal et un axe vertical. On suppose (ce qui n'est pas clairement dit) que tous les plateaux sont à une distance r identique du point "d'articulation" O, de longueur unité, et que les angles entre chacun des plateaux sont tous égaux. On appelle a, b, ..., h les masses sur les plateaux en partant de l'axe des x >0 et en tournant dans le sens trigonométrique.
L'équation d'équilibre autour de l'axe horizontal s'écrit : [TeX](c-g) + \sqrt 2 /2* (b+d-f-h) = 0[/TeX] ce revient à écrire : [latex]2*n = m \sqrt 2[/latex] avec n et m entiers.
C'est rigoureusement impossible. Ce qui était possible avec une "balance" à 6 bras, ne l'est pas avec une "balance" à 8 bras !
#5 - 24-02-2012 19:16:49
- Azdod
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convours griego 5&6
1- avec un simple système on conclut que les dimensions de ce pavé sont : 12 , 8/3 , 3/2. (cm bien-sur ) [TeX]V=48 cm^3[/TeX]
"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
#6 - 24-02-2012 20:30:34
- gilles355
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Conncours Griego 5&6
Exo 1: (Niveau 3ème)
Soit x,y,z les arêtes du pavé droit. On a donc le systeme :
1. xy= 32 2. xz = 4 3. yz = 18
si on divise la premiere et seconde equation on obtient:
1/2. xy/xz = y/z = 32/4 = 8 donc y=8z que l'on remplace dans l'équation 3.
On obtient donc 8z²= 18 d'où z²=18/8=9/4 d'où z=3/2 car longueur positive. En remplaçant le z dans l'équation 2 on trouve x=8/3. En remplaçant le x dans l'équation 1 on trouve y= 12.
Le volume du pavé étant xyz, le volume vaut 3/2*8/3*12 = 48 cm cube
Exo 2:
http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-EXO22.jpg
Soit a=OA, b=OB, ... h=OH On peut considérer que la balance est un repère de centre O et que les poids de 1kg à 8kg sont des vecteurs de longueurs 1 à 8.
a,b,c,...,h étant les valeurs de 1 à 8, on cherche à déterminer qui vaut quoi si c'est possible.
Projection orthogonale sur les axes horizontaux et verticaux des vecteurs OB, OD, OF et OH.
On a donc sur l'axe vertical, vect(OA)+vec(OB2)+vect(OH2)-vect(OD2)-vect(OF2)-vect(OE)=vect(0)
Puisque les angles sont de 45° entre chaque barre de la balance on a donc l'équation : a+(racine de 2)/2*b+(racine de 2)/2*h-(racine de 2)/2*d-(racine de 2)/2*f-e=0
c'est à dire : (a-e)+(racine de 2)/2*(b+h-d-f)=0
Dans ce cas là, puisque a,b,c,...,h sont des entiers naturels compris entre 1 et 8, il faut que b+h-d-f=0 et donc que a-e=0 mais alors on doit avoir a=e ce qui est impossible puisque a et e doivent être différent.
Le problème n'a donc pas de solution entières tel que a à h soient tous différents.
#7 - 24-02-2012 21:29:14
- MacArony
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Concours Griego 5&apm;6
1 )
![http://www.prise2tete.fr/upload/MacArony-parallelepipede.gif](http://www.prise2tete.fr/upload/MacArony-parallelepipede.gif)
cb = 4 ac = 18 ab = 32
(1) 9/2 (cb) = ac <-> 9/2b = a <-> 9/2b² = 32 <-> b = 8/3 (2) 8/3a = 32 <-> a = 12 (3) 12c = 18 <-> c = 3/2
On obtient donc un Volume = abc = 48 cm³
2) Je n'ai pas compris l'énoncé... Que veut-dire gravite dans ce cas-ci ? s'agit-il d'une vue du haut ou de face ?
Mac
Chien qui court dans la cour ne mérite aucun discours, mais lion qui accourt sans recours, au secours !
#8 - 25-02-2012 01:50:30
- Grizix
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Concours Grriego 5&6
1 - Trivialement, les trois dimensions du pavé sont différentes. Soient A, B, C ces longueurs (non nulles) telles que A>B>C. On a AB>AC>BC. Donc AB = 32, AC = 18 et BC = 4. Système de trois équations à trois inconnues. A = 32/B = 18/C <=> B = 32C/18 = 16C/9 = 4²C/3² BC = (4C/3)² = 2² C étant positif, on trouve : C = 3/2cm B = 8/3cm A = 12cm
Vérification : 12*8/3 = 32 12*3/2 = 18 8/3*3/2 = 4
2 - Mmh, je vois que les barycentres pour faire ça, ça me saoule, ça doit être impossible ![big_smile](img/smilies/big_smile.png) 0
#9 - 25-02-2012 04:01:54
- emerald000
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Concours Grriego 5&6
1- 48 cm³
2- 0 (Voir explication + contournements de règles)
Je premièrement pensé à mettre les poids 1, 2, 7 et 8 sur le plateau du haut et les poids 3, 4, 5 et 6 sur le plateau du bas.
Si on veut qu'il y ait un et un seul poids sur chacun des plateaux, alors je mettrais un 8 sur le plateau du haut et du bas et un 1 sur les autres plateaux.
Si on veut que les poids soient de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8 kg et qu'il n'y ait qu'un et un seul poids par plateau et que la masse des poids soit parfaitement répartie sur les plateaux, le problème est impossible à résoudre: (Les variables réfèrent aux points cardinaux.)
Selon l'axe de symétrie horizontale: o/2 + no + n + ne + e/2 = o/2 + so + s + se + e/2 => no + n + ne = so + s + se
Selon l'axe de symétrie passant entre o et no, et e et se: no + n + ne + e = o + so + s + se
En soustrayant la première équation de la deuxième: e = o
Contradiction! Les poids doivent être de différentes masses. On ne peut donc pas résoudre le problème avec ses critères.
#10 - 25-02-2012 09:25:17
- golgot59
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concours grieho 5&6
Le premier problème est simple : on pose que les arêtes ont pour côtés x, y et z cm alors xy=4 xz=18 yz=32
On cherche xyz, donc il suffit de faire le produit des trois lignes et on obtient : (xyz)²=4*18*32=2304
donc V=racine(2304)=48 cm^3
pour le second problème :
-----c----- --d-----b-- e---------a --f-----h-- -----g-----
Si on calcule les coordonnées du barycentre, il faut commencer par donner les coordonnées des 8 points. Je prend un repère centré sur le point milieu dont le rayon du centre au plateau mesure 1. Alors les points ont pour coordonnées : A(1,0) poids a B(√2,√2) poids b C(0,1) poids c D(-√2,√2) poids d E(-1,0) poids e F(-√2,-√2) poids f G(0,-1) poids g H(√2,-√2) poids h
L'abscisse moyenne est : x=a*1+b√2+c*0+d*(-√2)+e*(-1)+f*(-√2)+g*0+h*√2=(a-e)+(b-d-f+h)√2
Comme √2 n'est pas un multiple d'un nombre entier, il faut a-e=0 et (b-d-f+h)=0
donc a=e, ce qui est impossible.
Ma réponse est donc 0
(Si on avait eu les plateaux placés sur les bissectrices du repère au milieu des plateaux cardinaux (et pas sur un cercle), alors peut-être eut-ce été possible...)
#11 - 25-02-2012 10:11:04
- Promath-
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Concours Griego 5&aamp;6
MAC :Il s'agit d'une vue de haut.
N'oubliez pas de répondre aux deux questions!
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#12 - 25-02-2012 15:08:09
- fred101274
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concouts griego 5&6
Pour le 1, en appelant a, b et c les 3 longueurs, il vient ab = 4, ac = 18 et bc = 32, ce qui donne a=3/2, b=8/3 et c=12.
Pour le 2, je vais répondre 0 sans preuve mais pour l'instant, je ne vois aucune solution. (Mais j'ai quand même l'impression qu'il doit en exister une...)
![tongue](img/smilies/tongue.png)
On n’est jamais très fort pour ce calcul...
#13 - 25-02-2012 16:02:51
- DeepSpeedou2.5
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concours gruego 5&6
On note : a la longueur b la largeur c la profondeur
a, b et c vérifient a * b = 4 a * c = 18 b * c = 32
a = 4/b et c = 32/b donc 32b²-72=0 d'où b=3/2 De plus, a=8/3 et c=12
Le volume du pavé est donc de 48cm^3 ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Pour la deuxième, si on fait avec les barycentres, il me semble que c'est impossible mais je cherche toujours ![hmm](img/smilies/hmm.png)
#14 - 25-02-2012 16:57:18
- L00ping007
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Conccours Griego 5&6
Question 1
En appelant a,b,c les longueurs des 3 côtés, les 3 aires sont ab,ac,bc. Et le produit de ces 3 aires vaut abacbc=(abc)^2, soit le volume au carré. Le volume vaut donc la racine de carrée de 32*18*4=2304 Le volume est 48cm3
Question 2
Pour moi, ce n'est pas possible. Je numérote les masses de 1 à 8 dans le sens des aiguilles d'une montre. Les 4 plateaux 1,2,3,4 sont du même côté, leur poids doit être identique aux 4 autres 5,6,7,8, soit 18 kg (les 8 masses pèsent 36kgs). Mais les plateaux 2,3,4,5 doivent aussi peser 18kgs, donc par différence les plateaux 1 et 5 ont la même masse, ce qui est contraire à l'énoncé. C'est donc impossible
#15 - 25-02-2012 19:05:08
- masab
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Concourss Griego 5&6
Griego 5 Le volume V du pavé est donné par V=48.
On note a,b,c les côtés du pavé, de sorte que ab=32 ac=18 bc=4
Alors en divisant les 2 premières équations on a b/c =16/9 Comme bc=4 on a b^2=64/9 d'où b=8/3 On en déduit a=12, c=3/2 D'où le volume du pavé V = abc = 48 V = 48
Griego 6 Je suppose que tous les poids placés sont distincts deux à deux. Réponse : 0
Autrement dit il n'y a pas de solution. Pour le voir on peut noter [latex]a = e^{\mathrm{i} \pi/4}[/latex]. On considère une permutation [latex](n_1,...,n_8)[/latex] de [latex](1,...,8)[/latex]. On considère la somme [latex]\sum_{k=1}^8\ n_k\,a^k[/latex] . Ces sommes ne sont jamais nulles, ce qui montre qu'il n'y a pas de solution.
Prouvons que ces sommes ne sont pas nulles. Leur partie réelle est égale à [TeX]n_8-n_4+(n_1-n_3-n_5+n_7)\frac{\sqrt{2}}{2}[/TeX] Or [latex]n_1,\cdots,n_8\in\mathbb {N}[/latex], [latex]n_4\not=n_8[/latex] et de plus le nombre [latex]\sqrt{2}[/latex] est irrationnel. Il en résulte que la partie réelle étudiée n'est pas nulle, donc [TeX]\sum_{k=1}^8\ n_k\,a^k\not=0[/TeX]
#16 - 25-02-2012 19:50:43
- Franky1103
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concours friego 5&6
Re-bonjour,
Partie 5 On aura: ab = 32; bc = 18 et ac = 4; ce qui donne: c = 4/a; puis b = 4,5.a et enfin 4,5.a² = 32; d'où: a = 8/3 cm; b = 12 cm et c = 3/2 cm. Le volume du pavé vaut donc: V = 48 cm³
Partie 6 Si j'appelle les poids successivement dans le sens trigo a, b, c, d, e, f, g et h, on devra avoir (entre autres): a + b + c + d = e + f + g + h et b + c + d + e = f + g + h + a ce qui donne, en soustrayant: a - e = e - a et donc a = e. Les poids ne peuvent pas être tous différents. La solution est donc impossible: 0
Re-bonne soirée.
#17 - 25-02-2012 19:58:34
- FRiZMOUT
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Concours Griego 5&;6
1.
Soient [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] et [latex]c[/latex] les dimensions du pavé droit tels que [latex]ab=32[/latex], [latex]ac=18[/latex] et [latex]bc=4[/latex].
On a [latex]ab \times ac \times bc = (abc)² = 32 \times 18 \times 4 = 2304[/latex]. [TeX]V = abc = \sqrt{2304} = 48[/latex].
Le volume du pavé droit est de 48 cm³.
2.
Je dis surement une grosse connerie, mais pour moi, avec des poids successifs [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex], [latex]d[/latex], [latex]e[/latex], [latex]f[/latex], [latex]g[/latex] et [latex]h[/latex], l'équilibre est respecté si :
[latex]a+\sqrt{2} \times b+c=e+\sqrt{2} \times f+g[/TeX] [TeX]b+\sqrt{2} \times c+d=f+\sqrt{2} \times g+h[/TeX] [TeX]c+\sqrt{2} \times d+e=g+\sqrt{2} \times h+a[/TeX] [TeX]d+\sqrt{2} \times e+f=h+\sqrt{2} \times a+b[/TeX] Au vu de l'énoncé, je pense donc que c'est impossible. 0.
Je me permets tout de même de donner une configuration très proche de l'équilibre (si je ne dis pas n'importe quoi, encore une fois) :
#18 - 25-02-2012 22:03:23
- looozer
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Conours Griego 5&6
1. ab=32 ; bc=18 ; ac=4 On résout le système : a=8/3 ; b=12 ; c=3/2 donc abc=48 (cm³)
2.
#19 - 26-02-2012 09:58:26
- Promath-
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voncours griego 5&6
Loozer:tu n'as pas répondu à la 2?!
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#20 - 27-02-2012 17:57:55
- Grizix
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Concous Griego 5&6
Oups, je viens de voir que moi j'ai donné les longueurs des côtés pour la 1., mais que j'ai oublié de calculer le volume !
#21 - 28-02-2012 17:44:02
- Promath-
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Concour Griego 5&6
Désolé...Mais tu auras un avantage en cas d'égalité de points. ![smile](img/smilies/smile.png)
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