4736.

43, 74, 36
64, 67, 63

43+74+36+64+67+63=347

64*74=4736

Diophante A477

La réponse est 4736

43+74+36+64+67+63=347
74*64=4736

a = 4
b = 7
c = 3
d = 6

10(a+b+c+3d)+(2a+b+2c+d)=100c+10a+b
10(b+c+3d)+(2a+2c+d)=100c
10(b+3d)+(2a+d)=88c
10b+31d=88c-2a

A l’aide de 2 tableaux à 2 entrées ( un pour 10b+31d avec b=1à9 et d=1à9 et un pour 88c-2a avec a=1à9 et c=1à9), je trouve 7 ensembles de solutions (a,b,c,d):

(a=8 ;b=1 ;c=1 ;d=2) , (a=3 ;b=2 ;c=1 ;d=2) , (a=6 ;b=4 ;c=2 ;d=4),
(a=1 ;b=5 ;c=2 ;d=4) , (a=9 ;b=6 ;c=3 ;d=6) , (a=4 ;b=7 ;c=3 ;d=6) et 
(a=7 ;b=9 ;c=4 ;d=8)

a,b,c et d doivent être différents, il ne reste donc plus que 3 ensembles de solutions :

(a=1;b=5;c=2;d=4), (a=4 ;b=7 ;c=3 ;d=6) et  (a=7 ;b=9 ;c=4 ;d=8)

Etudions les 3 cas:

Cas 1: (a=1;b=5;c=2;d=4) on a donc  les nombres 15,51,24,41,45,42 pour obtenir par le produit 1524.
           
En essayant de diviser 1524 par la liste des 6 nombres à 2 chiffres, on trouve que ce n’est pas la solution.

Cas 2: (a=4 ;b=7;c=3 ;d=6) on a donc  les nombres 47,74,36,64,67,63 pour obtenir par le produit 4736.

On trouve que 64*74=4736.
Cet ensemble est donc solution mais est il unique ?

Cas 3: (a=7 ;b=9 ;c=4 ;d=8) on a donc  les nombres 79,97,48,87,89,84 pour obtenir par le produit 7948.

En essayant de diviser 7948 par la liste des 6 nombres à 2 chiffres, on trouve que ce n’est pas la solution.

La solution est donc a=4, b=7, c=3 et d=6.

abcd=4736

ac+ba+cd+da+db+dc=cab=43+74+36+64+67+63=347

4736 est le seul nombre qui convient.

Bonjour,
(10a+c) + (10b+a) + (10c+d) + (10d+a) + (10d+b) + (10d+c) = 100c+10a+b
s'écrit aussi: 2a + 10b - 88c + 31d = 0
Un petit tableau Excel me montre que seuls 1524, 4736 et 7948 y répondent.
Un test sur la seconde condition me donne 74 x 64 = 4736, qui est validé.
Merci et bonne soirée.