Je n'ai pas tout lu des différents arguments, mais concernant celui de départ, à savoir qu'il est possible que le nombre construit soit "trop loin" pour être atteint dans la suite, je pense que cela tient à la différence entre nombre ordinal et entier naturel:
Si la suite est indexé par les entiers naturels, aucun n'est infini par définition, la démonstration de Cantor marche.
Mais si la suite est indexé par les nombres ordinaux, on ne pourra pas conclure (je rappelle que les nombre réel ont un nombre dénombrable de décimales, il n'ont donc pas de chiffre à un index plus loin que l'ensemble des entiers naturels)
A tout ensemble d'ordinaux on peut construire un successeur de l'ensemble. Si je ne me trompe pas, cette propriété confère aux ordinaux un cardinal plus grand que R. Pour le voir, il suffit de prendre une application de R dans les ordinaux, puis de remarquer que le successeur de l'union des éléments de l'image de R par l'application n'est pas dans l'image. Donc R ne peut recouvrir les ordinaux par une surjection.
J'essayais de faire plus simple, bon moi tout comme L00ping c'est mon dernier message sur ce sujet. Si tu ne comprends pas ce n'est pas grave, chacun ses doutes et ses incompréhensions.
Je n'aurai jamais du poser çà mais l'explication qui suit ce message que j'ai posté, est celle que je voulais dire, et on ne peut mieux faire.
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
Je peux fermer le topic avant qu'un visiteur nous colle une tartine de redites, ou bien veux-tu encore t'obstiner un peu ?
Pour ma part, je pense que tout a été dit, de plusieurs façons différentes, avec même ton propre exemple (celui de considérer les nombres décimaux dans l'ordre du nombre de décimales non nulles et par ordre croissant). J'ai peur qu'on ne puisse plus rien faire pour toi si tu restes bloqué sur ta certitude "instinctive" que Cantor a raconté des conneries
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
Rien à rajouter, la démonstration de Cantor est la base et sans doute l'une des plus belles et des plus simples sur l'infini et la dénombrabilité.
Et elle n'est certainement pas constestable (tout du moins avec les axiomes de construction que nous avons choisis ou pour certains que nous utilisons sans en avoir conscience (comme M. Jourdain)).
Il faut raisonner de façon globale et non pas séquentielle lorsqu'on aborde l'infini. Puisque par définition on peut peut pas l'atteindre séquentiellement. Je vous renvoie à la question: que vaut 1 -1 +1 -1 +1 -1 .... suivant comment on groupe séquentiellement.
Dans la catégorie des belles démonstrations (à mon goût), il y a aussi celles qui utilisent la descente infinie.
Au risque de passer pour borné (tant pis, ma réputation est faite). Imaginons que Cantor en une seule fois trace sa diagonale de 0 à l'infini. A t il pour autant vu tous les nombres ? Ben non. Car si on représente chacun des chiffres dans un carré, sa diagonale est à 45°, mais pas la liste des nombres ! Cette liste est même, vers l'infini, plus proche d'un segment vertical que d'un carré. Il lui est donc impossible, par sa méthode, de passer sur les tous nombres.
Imagine un escalier que peut on dire de la somme de la longueur des marches qui sont malgré tout "incliné" à 45°. A chaque chiffre sa hauteur donc ça marche (de l'escalier) il n'y a donc aucun problème.
... 3 2 1 ________ 1 2 3 ...
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Quand Cantor est à la 10ème ligne, il a en dessous de la 10 ème ligne au moins 10^10 nombres de 10 chiffres min, c'est à dire 10^10-10 lignes encore à regarder. A la centième ligne, il a encore au moins 10^100- 100 lignes à regarder. En fait, plus il avance, et...plus il recule !
Quand Cantor est à la 10ème ligne, il a en dessous de la 10 ème ligne au moins 10^10 nombres de 10 chiffres min, c'est à dire 10^10-10 lignes encore à regarder. A la centième ligne, il a encore au moins 10^100- 100 lignes à regarder. En fait, plus il avance, et...plus il recule !
Désolé bon allé cette fois promit j'arrête !
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Quand Cantor est à la 10ème ligne, il a en dessous de la 10 ème ligne au moins 10^10 nombres de 10 chiffres min, c'est à dire 10^10-10 lignes encore à regarder. A la centième ligne, il a encore au moins 10^100- 100 lignes à regarder. En fait, plus il avance, et...plus il recule !
Tu nous refais une version contemporaine du paradoxe d'Achille et de la tortue ? On s'en fout du temps que "Cantor passe à regarder la diagonale". Si on parle d'infini, on considère aussi qu'on peut englober une infinité de données en un coup d'oeil, et ce non pas grâce au regard commun (dont la vitesse est bornée), mais aux outils des maths.
Et de toute façon, c'est hors sujet. Si tu es trop borné pour accepter un argument reconnu valide et "simple d'accès", et dans le même temps pas assez borné pour éviter ce genre de digressions contre-productives, tu ne t'en sortiras jamais (ayé, ta réputation est faite )
Le fait est que, pour toute liste infinie dénombrable d'éléments réels de [0;1], je peux construire un réel de [0;1] qui n'appartient pas à cette liste, donc [0;1] n'est pas dénombrable, et (forcément) l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.
Tout le reste n'est que fausse pistes et idées idiotes (ce n'est pas l'humain derrière le pseudo Nodgim que je juge, mais la façon dont il laisse ses pensées se perdre, OK ? soyons clairs là-dessus, je ne t'insulte pas, très loin de là ! et je sais que ce genre de raisonnement n'est pas évident pour tout le monde ; je t'invite juste à trouver un "point de vue" ou un mode de pensée qui te permettra de saisir la simplicité de ce genre de concepts et de démos -- parce que c'est simplissime, une fois qu'on a trouvé le bon angle de vue).
En attendant, il n'y a rien d'autre à dire à ce sujet, je pense. La difficulté est dans l'oeil de celui qui regarde
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Comme j'aime bien les diptères, la démonstration connue sous le nom de diagonale de Cantor démontre la non-dénombrabilité de ]0;1] et non de [0;1] et on en déduit cette dernière mais ce n'est pas tout à fait immédiat. Il faut encore une démonstration par l'absurde du genre de l'Hotel de l'Infini. De la même façon, il semble évident que si [0;1] n'est pas dénombrable, l'ensemble des réels non plus mais encore une fois il faut se méfier des "intuitions" avec l'infini.
Toujours à propos d'infinis, il faut être très prudent des raccourcis même à un seul point près. Y a-t-il autant de points dans [0;1] que dans ]0;1]. Je vous rassure, je connais la réponse . Je n'attends donc pas de réponse, c'est juste pour continuer à creuser dans ce domaine...
Comme j'aime bien les diptères, la démonstration connue sous le nom de diagonale de Cantor démontre la non-dénombrabilité de ]0;1] et non de [0;1]
Ca revient exactement au même... Si tu associes 0,000... à un des entiers de N, la démo reste valide. (Tu voulais du diptère, en voici.)
rivas a écrit:
et on en déduit cette dernière mais ce n'est pas tout à fait immédiat. Il faut encore une démonstration par l'absurde du genre de l'Hotel de l'Infini.
Ah bon ? Un ensemble incluant un ensemble non-dénombrable est forcément non-dénombrable lui-même, ça devrait suffire.
rivas a écrit:
De la même façon, il semble évident que si [0;1] n'est pas dénombrable, l'ensemble des réels non plus mais encore une fois il faut se méfier des "intuitions" avec l'infini.
Certaines fois, oui. Quand il s'agit de ce que j'ai écrit juste au-dessus, on sombre dans l'évidence. Après, on ne peut pas conclure directement que les deux sont de cardinal différent, mais pour la dénombrabilité, le résultat est plus que direct.
rivas a écrit:
Y a-t-il autant de points dans [0;1] que dans ]0;1]. Je vous rassure, je connais la réponse . Je n'attends donc pas de réponse, c'est juste pour continuer à creuser dans ce domaine...
...au grand bonheur de Nodgim, pas vrai ?
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Si tu associes 0,000... à un des entiers de N, la démo reste valide
Tout à fait, mais ce n'est pas la même démo, c'est ce que je voulais dire.
Un ensemble incluant un ensemble non-dénombrable est forcément non-dénombrable lui-même, ça devrait suffire
Evidemment, mais comme toute affirmation mathématique, elle n'est valable que si c'est un axiome de base ou si c'est démontré en utilisant des axiomes de base ou des résultats déjà démontrés . Même si c'est évident...
...au grand bonheur de Nodgim, pas vrai ?
En effet. Ce n'est pas très charitable sans doute de remuer le couteau dans la plaie mais je n'ai pas pu résister
Bon, ça y est enfin, je crois avoir compris: en fait, on peut dire que Cantor cale le cardinal de N sur les colonnes. Et comme il trace une diagonale, L'infini de N est représenté à la fois en colonne et en ligne (même cardinal). Et donc là sa démo prend tout son sens.
En fait je suis parti du principe qu'il y a 10^n lignes pour n colonnes. C'est vrai quel que soit n, mais faux quand on met tout ça à l'infini. A l'infini de N ne correspondra pas 10^(infini de N) nombres réels. Qui peut me dire pourquoi j'avance cette affirmation ?
En fait je suis parti du principe qu'il y a 10^n lignes pour n colonnes. C'est vrai quel que soit n
Non, même pas avec ta méthode de "prendre les décimaux dans l'ordre", parce qu'alors on ajouterait de toute façon une infinité de 0 à la fin (il y aurait toujours une infinité de colonnes...).
@Rivas :
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En fait je suis parti du principe qu'il y a 10^n lignes pour n colonnes. C'est vrai quel que soit n
Non, même pas avec ta méthode de "prendre les décimaux dans l'ordre", parce qu'alors on ajouterait de toute façon une infinité de 0 à la fin (il y aurait toujours une infinité de colonnes...).
@Rivas :
Attention, avec un n fini. Si n=10 par exemple, de 0.000 000 000 0 à 0.999 999 999 9 j'ai 10^10 nombres décimaux. Pas de doublon. Non ?
En fait il est important qu'on ne puisse pas choisir une infinité de 9 à la fin du nombre qu'on exhibe comme n'étant pas dans la liste parce que sinon, cela devient l'écriture impropre d'un nombre qui pourrait lui avoir son écriture propre dans la liste...
La non unicité de l'écriture décimale pour les décimaux non nuls (deux écritures sont possibles pour ces nombres, l'une avec toutes les décimales valant 0 sauf un nombre fini, l'autre avec toutes les décimales valant 9 sauf un nombre fini) n'est pas un écueil au raisonnement précédent car le nombre diagonal x ne peut être décimal, puisque son écriture décimale est infinie et ne comporte que les chiffres 1 et 2.
A ce propos, je suis très sceptique sur la véracité de cette phrase tirée de Wikipédia. Si quelqu'un peut soit m'expliquer la signification de la phrase, soit me confirmer qu'elle n'a rien à avoir avec le schmilblick ...
Je ne vois rien de choquant dans cette phrase. Tout un plus elle manque un peu de clarté. Quelle partie te rend-elle sceptique plus particulièrement?
Tous les nombres décimaux admettent 2 écritures. Par exemple 0,2 s'écrit aussi 0,1999999..... La première s'appelle l'écriture propre et la seconde l'écriture impropre. Il n'y a donc unicité de l'écriture des décimaux que si l'on exclut les écritures impropres.
Cette phrase dit la même chose que ce que je disais dans mon post précédent. Pour que la démo de la diagonale soit juste, il faut exclure les écritures impropres. Il faut donc préciser que les nombres qui sont dans la liste le sont sous la forme de leur écriture propre et que lorsqu'on construit le contre exemple, on n'utilise pas de chiffre 9, ce qui évite que le contre-exemple se termine par un infinité de 9 et soit donc potentiellement l'écriture impropre d'un nombre déjà dans la liste avec son écriture propre.
Cela est nécessaire car la démonstration utilise la forme "écrite" des nombres et c'est en cela qu'elle est aussi délicate. Elle dépend par exemple de la "base" dans laquelle on écrit les nombres. Elle ne marcherait pas si on considérait les nombres écrits en base 2. Amusant non? C'est fou ce que les choses vont plus loin que ce qu'on imagine au premier abord...
Essai d'invalidation de la méthode ce Cantor par un contre exemple: un sous ensemble des rationnels. On remplit les lignes seulement avec des décimaux d'écriture finie. On met d'abord les nombres à 1 chiffre. Puis les nombres à 2 chiffres, puis les nombres à 3 chiffres, etc.... On exclut les nombres avec les zéros. ça donne quelque chose comme ça: 0.1 0.2 .... 0.9 0.11 0.12 ... 0.19 0.21 ....
Le nombre que Cantor crée est exactement:0.2111111...... qui un nombre rationnel (0.19/9) et qui n'est pas dans la liste. On en conclurait donc que les rationnels ne sont pas dénombrables.
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