Clydevil a écrit:

Pour l'axiome du choix c'est plus subtil, on a aucunement besoin de l'axiome du choix pour exhiber une bijection des entiers vers les entiers premiers. Dire qu'à chaque entier n on associe le n-ieme premier ca construit une bijection de manière explicite.

C'est plus compliqué que ça

Il n'est possible de parler de "n-ieme premier" que parce que la théorie des ensemble que nous utilisons inclut l'axiome de choix (AC). et ce parce que les entiers et les premiers sont en nombres infinis, même si nous n'en sommes pas pleinement conscient (encore notre intuition).

On s'en sert de façon détournée, par l'intermédiaire d'un énoncé équivalent. Sans lui, la dénombrabilité n'est pas aussi simple que ce dont l'on parle depuis le début de ce thread.

De façon plus précise dans le cas dont on parle, on peut utiliser la "propriété de bon ordre" des entiers naturels pour choisir à chaque étape de la construction le plus petit des premiers restants à choisir.
Cependant, faire cela, c'est utiliser l'AC de façon masquée.
En effet, on utilise, comme M. Jourdain, sans le savoir, le Théorème de Zermelo pour justifier l'existence de cette relation d'ordre sur N et cet énoncé est équivalent à l'AC. On utilise donc, si ce n'est l'AC directement, un axiome équivalent, mais il en faut bien un.

La théorie usuelle utilisée est ZFC soit ZF + AC. Sans AC, donc simplement ZF,  il est possible de construire un ensemble non-dénombrable comme union dénombrables d'ensemble de 2 éléments (Russel puis Paul Cohen 1962), car il manque justement la possibilité de faire un choix pour construire la bijection.

D'autre part, l'AC permet de valider qu'il est légitime de choisir un élément, même si on sait lequel choisir, dans un ensemble infini et que le choix de celui-là ne rend pas invalide la démonstration, surtout si le choix est effectué une infinité de fois dans la construction.

Attention à l'infini: est-il légitime de faire un choix parmi une infinité d'objet? Peut-on être sûr d'avoir examiné tous les objets pour être sûr que notre choix répond bien aux critères? Le choix d'un élément dans un ensemble infini pose des problèmes de logique. Mais notre intuition (encore elle) ne nous permet pas toujours de voir simplement pourquoi le choix pourrait poser un problème.

Voir: http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

Je rappelle que durant la crise des fondements, certains mathématiciens travaillant sur ces sujets sont devenus fous ou se sont suicidés... tellement ils sont logiquement ardus. Ames sensibles s'abstenir

Avec le debut je ne sais pas si je suis d'accord, ca me choque mais la reponse est de qualite alors je vais me plonger dedans pour savoir ca le merite largement.

Avec ceci par contre je sais que je ne suis pas d'accord:

Dans le cas des parties de R, il n'y a pas de difficulté à donner une méthode de choix:
Pour une partie de R que j'appelle X:
Je considère un des intervalles I de X. Il peut y en avoir plusieurs, j'en choisis un. Ils peuvent être ouverts, fermés (voire réduit à un point), semi-ouverts, peu importe, ...
Je choisis ensuite comme nombre x=(inf(I)+sup(I))/2. (inf: borne inférieure, possiblement pas dans I si I est semi-ouvert à gauche, sup: borne supérieure). Il est évident que x appartient à X puisque X est un intervalle.
Voila j'ai bien constuit une méthode qui à chaque partie de R associe un de ses points. Mais pourtant j'ai eu besoin de l'AC.

Dans l'hypothèse ou ce que tu fais ici est censé montrer le même genre de choses que ce que j'ai dit avec N:
NON ici tu n'as pas construit ce que tu dis pour deux raisons:
-"Je considère un des intervalles I de X. Il peut y en avoir plusieurs, j'en choisis un."
La tu choisis un intervalle sans le designer, donc c'est pas un bon départ pour une construction explicite, ca ne définira forcement pas le x sélectionné au final.
-"Je considère un des intervalles I de X"
Il n'y a pas forcement d'intervalle dans X, X peut parfaitement être "les nombres irrationnels"

Pour le reste en vrac reactions à chaud (faut que je bosse un peu quand meme mais ce soir je ferais une reponse plus construite):

Il n'est possible de parler de "n-ieme premier" que parce que la théorie des ensemble que nous utilisons inclut l'axiome de choix (AC).

La théorie des ensembles qu'on utilise c'est généralement ZFC oui elle inclut l'axiome du choix mais je ne suis pas d'accord avec la première partie de la phrase qui elle est vraie dans l'arithmétique de Peano seule.

Cependant, faire cela, c'est utiliser l'AC de façon masquée.
En effet, on utilise, comme M. Jourdain, sans le savoir, le Théorème de Zermelo pour justifier l'existence de cette relation d'ordre sur N et cet énoncé est équivalent à l'AC.

Le théorème de Zermelo est équivalent à l'axiome du choix oui, mais ce n'est pas parce qu'on peut l'utiliser qu'on en a besoin.  Ce théorème est égal à AC justement parce qu'il est générique pour tout ensemble, le bon ordre sur N (pas relation d'ordre) en particulier par contre n'en a pas besoin.

à suivre...

Clydevil a écrit:

Le théorème de Zermelo est équivalent à l'axiome du choix oui, mais ce n'est pas parce qu'on peut l'utiliser qu'on en a besoin.  Ce théorème est égal à AC justement parce qu'il est générique pour tout ensemble, le bon ordre sur N (pas relation d'ordre) en particulier par contre n'en a pas besoin.
à suivre...

La question n'est pas qu'on puisse l'utiliser ou pas. On l'utilise tout simplement pour ordonner les entiers. On n'a pas le choix.

On est tellement habitué à l'ordre des entiers naturels et à les manipuler pour compter des objets que la définition de ceux-ci en tant qu'objet mathématique (suivant le modèle que l'on choisit) nous échappe un peu (encore notre intuition).

Qu'appelle-t-on 0? Qu'appelle-t-on 1? Qu'appelle-t-on 1000? (je ne les fais pas tous ).

Comment ordonne-t-on l'infinité de nombres entiers?
Comment décide-t-on que 0 est le premier, ou plutôt avant 1?
Comment décide-t-on que 1 est avant 2, ...?
Comment justifie-t-on que si 1 est avant 2, il est avant tous les autres? Est-ce légitime?
La fonction "successeur" utilisée dans la définition des entiers représente le moment où on utilise l'axiome du choix.

On peut d'ailleurs définir bien d'autres relations d'ordre sur N. Comme par exemple celle que j'ai déjà donné en exemple: tous les impairs sont plus petits que tous les pairs et pour comparer 2 pairs ou 2 impairs entre eux, on utilise l'ordre naturel (ou pour s'amuser le contraire de l'ordre naturel). Quel est le rang de 0 avec cet ordre? Ce n'est pas "l'ordre naturel" mais c'est un ordre.

En répondant à ces questions, en considérant tous les entiers (leur infinité), on fait appel sans le vouloir (sans le savoir?) à l'AC.

Pour définir un ordre dans un ensemble E infini, on choisit d'abord le premier élement e0 (utilisation de l'AC) puis on choisit dans E-{e0} le second élement (utilisation de l'AC), ... Cela définit la fonction successeur. La description de la construction peut parfois être énoncée dans l'autre sens, mais cela revient au même.

Le choix que nous avons fait pour les entiers est donc 0, 1, 2, 3, ...
Mais comme je l'ai dit plus haut, on aurait tout aussi bien pu choisir: 1, 3, 5, 7, ..., 0, 2, 4, 6, ...

Le fait que l'on utilise ce qui nous semble naturel en considérant les entiers comme les cardinaux d'ensemble et en les ordonnant par ordre d'inclusion ne change pas le fait qu'on utilise sans le voir l'AC parce que cela nous est "trop naturel" pour y réfléchir en profondeur.
Mais pourquoi le cardinal d'un ensemble à 2 éléments doit-il arriver après le cardinal d'un ensemble à 1 élément? C'est un choix. On pourrait en faire un autre.

Faut-il créer un forum philosophique ?

Je pense que l'on arrive à la limite de ce qui peut-être discuté ici

Je recommande aussi:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles

On y lit en particulier en rapport avec le sujet:

L'axiome du choix est apparu explicitement dans une publication de Ernst Zermelo de 1904, c'est-à-dire avant la parution de son axiomatisation de la théorie des ensembles. L'axiome du choix est en effet d'une nature différente des autres axiomes de la théories des ensembles énoncés ultérieurement, et qui résultent pour la plupart d'une analyse soignée de la compréhension non restreinte. En effet l'axiome du choix ne donne pas de définition explicite de l'ensemble construit (ensemble de choix ou fonction de choix suivant les versions). D'autre part, dans son article de 1904, Zermelo démontre avec l'axiome du choix son fameux théorème qui énonce que tout ensemble peut être bien ordonné, proposition qui n'a rien d'intuitivement évident, ne serait-ce que pour l'ensemble des réels. L'axiome du choix était utilisé tacitement au moins par Georg Cantor, mais la publication de Zermelo déclenche des débats passionnés chez les mathématiciens de l'époque[2].

L'axiome du choix est par ailleurs très lié à l'infini mathématique, en effet l'axiome du choix est intuitivement vrai pour un nombre fini de choix, et d'ailleurs tout à fait démontrable dans ce cas à partir des autres axiomes de la théorie des ensembles.

Bonne lecture à tous.

Si vous voulez le détail de la discussion tant décriée:
http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthr … p;id=55496

Et bien, je pense que si la durée pour parcourir la distance accueil-chambre n°x, en omettant la durée dans l’ascenseur pour arrivée à l'étage souhaité, est supérieure à l'espérance de vie humaine, on peut considérer l’hôtel comme plein.

Déclarer que 0.00...01 vaut exactement 0 n'est il pas en contradiction avec le caractère strictement croissant de la fonction logarithme ?

Memento a écrit:

Que vient faire le logarithme ?

C'est dimanche et il fait beau, il se promène, il peut oui ???

Par contre, toujours aussi radin, le logarithme ne paie rien...


...pour attendre.

Il est encore ouvert, ce topic ? Bah m**de, que fait la police ?