rivas a écrit:

Il n'est pas possible d'écrire une machine qui crée tous les nombres réels  (au sens de von Neumann) tout simplement car ceux-ci ne sont pas dénombrables...

Elle ne peut même pas construire un intervalle de R aussi petit (non nul) soit-il.

Elle pourra tout au plus construire un sous-ensemble dénombrables de ceux-ci (comme N, Z, Q ou bien d'autres) mais un tel ensemble à une mesure nulle dans R. C'est à dire qu'il y en vraiment très peu.

Rivas, dis toi bien que la machine, en ce moment même, construit R. Si tu penses qu'un nombre n'est pas en train de se construire dans l'intervalle [0,1[ alors dis moi vite lequel qu'on aille voir ces satanés constructeurs qui ont été infoutus de tout prévoir.

Joli, le coup du 1/pi

1/g = mi/1 ?

(Ces jeux de mots sont trop nuls, je m' pi/a.)

Le point mathématique n'a aucune réalité physique. Il n'existe pas.

ATTENTION: Gros post à lire et à relire

nodgim a écrit:

Tu fais bien de me signaler cette bijection entre N et R, je viens d'en prendre conscience il y a quelques jours seulement. Cela supposerait il donc l'existence de nombres infinis ?

Oula... Je ne signale pas du tout l'existence d'une bijection entre R et N.
Une telle bijection n'existe pas. C'est bien toute la discussion de l'autre topic sur la non-dénombrabilité de N.

Je parle de l'ensemble des parties de N (que je vais noter [latex]\mathfrak{P}(\mathbb{N})[/latex] ou plus simplement P(N)) et non de N.
Le cardinal de P(N) est strictement plus grand que le cardinal de N. C'est un infini plus grand en quelque sorte. Mais attention, cette phrase n'est la que pour illustrer le propos. Elle ne veut rien dire mathématiquement.
R est en bijection avec P(N).
Le cardinal de N se note [latex]\aleph_0[/latex].
Le cardinal de R est donc [latex]2^{\aleph_0}[/latex].
Par définition, le plus petit infini plus grand que [latex]\aleph_0[/latex] est noté [latex]\aleph_1[/latex].

Toute la question est de savoir si le cardinal de R est [latex]\aleph_1[/latex] c'est à dire le plus petit infini plus grand que le cardinal de N ou un infini plus grand que [latex]\aleph_1[/latex] (sachant de toute façon que ce n'est pas [latex]\aleph_0[/latex]).
Cette question n'est pas décidable dans la théorie des ensembles classique telle qu'elle est définie. La réponse à cette question a donc été donnée sous forme d'axiome supplémentaire et est appelée l'hypothèse du continu.
A ce sujet la même question existe pour la puissance du fonctionnel, c'est-à-dire de savoir comment placer le cardinal de l'ensemble des fonctions de R dans R.

nodgim a écrit:

Pour le continu, voila où j'en suis arrivé de mes réflexions à cause de Cantor.
1 point est caractérisé par une abscisse sur un segment. 2 points distincts sont donc à des abscisses différentes. Qui dit abscisses différentes dit différence d'abscisses mesurable, car on a bien identifié correctement ce point. Or, si l'on admet que le continu se remplit avec des points, il doit pouvoir se déplacer de points en points sans différence d'abscisse, ou une différence nulle. Mais si on a une différence nulle, les points sont à la même abscisse, donc ce sont des points confondus, il n'y a qu'un point. Donc le continu ne peut se déplacer. Arf...

En fait le continu est l'expression d'un mouvement, alors que le point mathématique est une description de l'immobile.

On ne peut pas se dépacer de point en point dans le continu.

Se déplacer de point en point ne veut pas dire grand chose par ailleurs.

- Si c'est se déplacer d'un point à celui le plus proche au sens d'une distance, cela n'est pas possible dans R ni même non plus dans Q qui pourtant n'est pas continu au sens de R. Il est dense dans R ce qui empêche de trouver un point unique le plus proche d'un autre.

- Si par contre se déplacer de point en point est pris sous le sens de se déplacer d'un point au SUIVANT d'après une numérotation prédéterminée, alors bien qu'on ne puisse toujours pas le faire dans R (on ne peut pas numéroter R, voir l'autre topic) on peut se déplacer de point en point dans Q. En effet Q est dénombrable, on peut donc numéroter de façon unique TOUS les rationnels et se déplacer en commençant par celui qui est numéroté 0, puis 1, ... mais par contre à chaque mouvement on va "passer au-dessus" d'une infinité d'autres rationnels sur lesquels on reviendra plus tard ("Passer au-dessus" étant à prendre au sens de la distance de R).

On voit donc bien la difficulté de ce genre de notion pas assez précise.

Dans un ensemble continu ou, avec une contrainte plus faible d'être dense dans le continu (comme Q ou R-Q), il y a toujours au moins un autre point et donc une infinité d'autres points (dénombrable pour Q, non dénombrable pour R-Q) entre 2 points distincts.

Là tu t'attaques au paradoxe de Zénon, et aux définitions du mouvement, du continu, ... Tu t'exposes à de nouvelles prises de têtes solitaires.

Dans le même genre, quel est le plus petit nombre du segment OUVERT ]0, 1] ce qui revient à l'abcisse du point le plus à gauche de ce segment (dans un repère habituel).

Attention le continu est par essence très différent du discret et de la même façon qu'il ne faut pas se laisser illusionner par l'infini, il ne faut pas le faire avec le continu. Le continu EST TOUT SAUF un discret suffisament "serré/compressé"...