Bonjour,
Ne serait-ce pas dû à un phénomène dinterférences similaires aux "franges de Fresnel" que l'on a tous expérimentées au lycée (superposition de deux courbes sinusoïdes) ?
Bonne soirée.

C'est trop fort! J'aime bien tes énigmes sur les dessins faits par ordi.

L'image est surprenante.

Après réflexion, la périodicité n'est pas un mystère.
Par contre, l'apparition des formes secondaires en cercles et pentagonales me laissent perplexe...
J'attends de voir la suite.

Rien ne sert d'opposer point de vue analytique et algébrique. Il manque juste les contraintes d'affichage (sous échantillonnage) dans les explications du point de vue analytique.

On observe un effet de repliement de spectre assez courant (pour peu que l'on fasse un peu de traitement du signal/image). Il manque un filtrage d'anti-repliement (anti-aliasing) qui aurait masqué cette périodisation de l'image.

Une démonstration de cet effet en une dimension est plus simple.

On dispose d'une fonction continue [latex]f\(t\)=t^2[/latex] sur laquelle on applique un modulo, ce qui se traduit par :
[TeX]f_m\(t\)=t^2-E\(\frac{t^2}{D}\)D[/TeX]
En considérant un pas d'échantillonnage de 1, la fonction échantillonnée devient :
[TeX]f_m\(p\)=p^2-E\(\frac{p^2}{D}\)D[/TeX]
avec p entier relatif.

On montre facilement, en supposant D entier, que [latex]f_m\(p\)=f_m(p[/latex]+ [latex]D) [/latex] et donc que la fonction est périodique et de période D.

(J'ai un problème avec les + qui ne s'affichent pas sous Latex, vous aussi ?)

Bon, il n'y a pas eu beaucoup de personnes inspirées par cette énigme.
Ça doit être les mots algèbre et analyse dans le titre qui font fuir les gens

   Je parts du principe que le point de vu analytique (qui correspond à une résolution  infinie) a été compris.
Maintenant intéressons nous spécifiquement à l'image pixelisée.

I) La périodicité

   La périodicité de 128 pixels peut paraitre surprenante quand on la découvre, mais elle saute aux yeux dans la formulation mathématique:
(i+128xk)²+(j+128xl)² modulo 256
= i²+j²+256ki + 128²k² + 256lj+ 128²l² modulo 256
= i²+j² modulo 256

   Cette périodicité explique la répétition du motif principale. Ce motif est fidèle à la description analytique tant que la largeur des anneaux est plus large qu'un pixels, ensuite les anneaux deviennent invisible et des motifs secondaires apparaissent.

II) les motifs secondaires

   Premièrement remarquons que les motifs secondaires sont similaire au principal mais sont plus striés et ont l'air rétrécis.

Rappelons que a = b modulo (kxl)     implique a = b modulo k

   Posons c = i²+j², alors la couleur du point i j est congrue à c à toutes les puissance de 2 inférieur à 256:
i²+j² = c modulo 128 ; i²+j² = c modulo 64 ; .... i²+j² = c modulo 4;i²+j² = c modulo 2;
   Prendre un nombre binaire modulo une puissance de 2 revient à sélectionner ses bits de poids faibles.
Cela démontre que le motif principal est recopié pour les bits de poids faibles avec une périodicité doublant de 2 à 64 pixels.
   Bien sûr, les bits de poids fort s'ajoute par dessus les motifs et les décalent. Suivant chaque valeur des bits fort on verra une image entrelacée différente. Le nombre d'images entrelacées double chaque fois que la périodicité double: pour 64 pixels il y a 2 images entrelacés différentes, pour 32 pixels 4 images...
  Notons également que les bits de poids fort quand ils sont tous à 1 sont responsable de la largeur du motifs secondaire: en décalant vers le claire le disque centrale, le premier saut de couleur se produit plus tôt et le disque est moins large.

  La manière dont les motifs secondaires sont entrelacés est facilement démontrable pour n=64 pixels:
(i + 64k)² + (j + 64l)² modulo 256
= i² + j² + 128k*i + 128l*j modulo 256
Suivant que k et l valent 0 ou 1, il y aura un saut de couleur verticalement ou horizontalement ou les deux si k=l=1 ou pas de saut si k=l=0.


   Le type de raisonnement que j'ai fait ici se généralisent facilement à tout type de polynôme en i,j. Si le degré du polynôme est égale à 2 le motif principale sera une conique (ellipse, hyperbole ou parabole):

Exemples pour:
1) i*i-10*j                  2) i*j
3) i*i+5*j*j-i*j           4) i*j+j*j+10*i

struc de ouf !

Analyse mieux détaillée à la demande de shadock

  Si on suit une ligne partant du centre de l'image, on peut définir la fonction :
f(r) = r² modulo Rmax
   Cette fonction donne les couleurs le long de la ligne (ou du rayon) pour un point à la distance "r" du centre.
   Cette fonction est dérivable par morceaux (là où elle n'est pas discontinue à cause du modulo). Sur chaque morceaux le modulo retire une constante: -k*Rmax.
   La dérivé de cette fonction est donc tout simplement f'(r) = 2r + 0

   Cela montre que sur chaque bande (j'appelle bande un intervalle où la fonction est continue, ce qui correspond à une bande circulaire dégradé sur l'image), plus la bande est éloigné du centre (plus r est grand) plus f' augmente, donc plus la couleur s’éclaircira vite et atteindra vite la limite Rmax.

Conclusion : les bandes sont de plus en plus minces en s'éloignant du centre.