Enigme Le pentagone et ses cercles @ Prise2Tete

kossi_tg · #1

Bonjour à tous,
Voici un petit truc pour la semaine

Soit ABCDE un pentagone quelconque convexe.
Soit la fonction Inters{(D1),(D2)}=point d'intersection entre les droites (D1) et (D2).
Notons:
A'=inters{(BC),(ED)}
B'=inters{(AE),(CD)}
C'=inters{(AB),(ED)}
D'=inters{(BC),(AE)}
E'=inters{(AB),(CD)}

Soientt $C_i$ les cercles circonscrits aux triangles AC'E, EB'D, DA'C, CE'B et AD'B.

Les cercles $C_i$ se coupent 2 à 2 en 2 points dont 1 est un des sommets de ABCDE et l'autre noté $M_i$ soient K, L, M, N et P sur la figure.

Montrez que les $M_i$ sont cocycliques.

Figure:

Bonne chance à tous!

masab · #2

Bonjour,

100 heures pour un problème de géométrie aussi difficile, cela semble insuffisant...

kossi_tg · #3

masab a écrit:
Bonjour,
100 heures pour un problème de géométrie aussi difficile, cela semble insuffisant...

Je mets une semaine du coup soit 168 heures

nobodydy · #4

houla

le fameux problème des 5 cercles, démontré par William Kingdon Clifford est à relier aux configurations étudiées par Miquel. (merci Google)

malheureusement je ne sais pas écrire les formules de maths sur ce site, ni sur aucun d'ailleurs.
et de plus je n'y connais absolument rien en cercles cocycliques

masab · #5

Bonjour,

Il s'agit du théorème du pentagramme de Miquel appelé aussi théorème des cinq cercles ; voici un lien donnant une preuve :
http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm
Trop compliqué à mon avis pour en faire une énigme sur ce forum...

kossi_tg · #6

Je partage les dernières réactions avec vous.

nobodydy a écrit:

houla

le fameux problème des 5 cercles, démontré par William Kingdon Clifford est à relier aux configurations étudiées par Miquel. (merci Google)

malheureusement je ne sais pas écrire les formules de maths sur ce site, ni sur aucun d'ailleurs.
et de plus je n'y connais absolument rien en cercles cocycliques

masab a écrit:

Bonjour,

Il s'agit du théorème du pentagramme de Miquel appelé aussi théorème des cinq cercles : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … _de_Miquel
Trop compliqué à mon avis pour en faire une énigme sur ce forum...

Je n'ai pas la réponse moi même, je ne savais pas le problème serait aussi difficile à résoudre quand je l'ai découvert par hasard en m'amusant avec mon logiciel graphique. Je vais laisser écouler le temps.
Mais je pense qu'on peut démontrer cela sans utiliser de formules mathématiques au delà du lycée.
Merci à tous !

kossi_tg · #7

Attention, ceux qui vont peut-être consulter la page wiki sur le Théorème de Miquel, la figure sur la partie Théorème des cinq cercles qui semble correspondre à ce problème parait singulière. En effet sur cette figure, les centres des cercles $C_i$ sont sur un même cercle (cocycliques), ce qui n'est pas le cas dans ce problème. Soit le théorème de Miquel traite d'une autre chose soit l'article wiki n'est pas forcément juste.

kossi_tg · #8

Je n'avais pas pris le temps de chercher, c'est bon maintenant, j'ai la démonstration avec des éléments de Seconde

Courage à ceux qui continuent de chercher!

masab · #9

J'ai rectifié le lien !

kossi_tg · #10

masab a fini par trouver un site internet où la démonstration est faite de manière très ludique avec de petites animations des différents angles. Seul chapitre de géométrie utilisé: les angles inscrits. Il suffit donc de trouver les bons angles et de bien les associer

Bien joué masab!

masab · #11

Un applet intéressant pour tester diverses configurations
http://www.theoremoftheday.org/Geometry … Circle.htm

kossi_tg · #12

Merci à tous
Pour la solution, je vous remets ce lien de masab qui donne la solution de manière très ludique: http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm

housseyne · #13

Bon problème géométrique et qui est nécessite un peu de temps pour le résoudre.
à l vacance

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#1 - 30-09-2013 15:38:29

le oentagone et ses cercles

#0 Pub

#2 - 30-09-2013 21:32:18

Le pentagone et ses cecrles

#3 - 30-09-2013 22:10:41

Le penntagone et ses cercles

#4 - 01-10-2013 09:19:32

Le pentagone et ses cercels

#5 - 01-10-2013 11:22:34

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#6 - 01-10-2013 14:12:08

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#7 - 01-10-2013 14:32:57

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#8 - 01-10-2013 16:11:18

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#9 - 01-10-2013 17:42:24

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#10 - 01-10-2013 18:06:45

Le pentagone et ses crecles

#11 - 02-10-2013 08:44:55

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#12 - 07-10-2013 15:41:49

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#13 - 19-10-2013 09:24:56

Le pentagone et se cercles

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