Je pense que oui : sur 4 pièces,les 4 combinaisons possibles sont équiprobables , donc 10 euros chacun en moyenne...

Spoiler : [Afficher le message] je sens que je me vautre encore dans le gros piège qu'il fallait voir

Il commence à y avoir de l'idée.  Oui évidemment si je pose la question c'est que la réponse n'est pas triviale .
Le calcul n'est pas très dur des qu'on sait quoi calculer.

@Franky1103: Spoiler : [Afficher le message] Et si! En jouant bien un des deux joueurs a une espérance positive quoi que fasse l'autre, le jeu n'est pas équitable. Comme je l'ai dit, si je pause la question...


@Tout le monde: Bon vu la réaction de certains, ainsi que le sens implicite de la non participation d'autres j'en conclus que je vais maintenant démarrer une combine pour arrondir mes fins de mois.

@MthS-MlndN:Spoiler : [Afficher le message]  Évidemment lorsque je dis que le jeu n'est pas équitable je veux dire qu'il existe pour un des deux joueurs (pas n'importe lequel) une manière de jouer ayant une espérance positive quelque soit ce que fait l'autre (même sil n'est pas con comme un balais).
Ps:Après relecture je crois que le quiproquo venait du fait que j'avais répondu sans mettre de virgule après le si. (je ne donnais pas une définition de l'equitabilite, en fait je déclarais que le jeu n'était pas équitable pour que mon interlocuteur continue de chercher.

Rebonjour,
Effectivement, si Alice joue systématiquement "face", soit elle gagne 5€ (si Bob joue "pile"), soit elle ne perd que 1€ (si Bob joue "face"): de cette façon, Bob n'aura jamais la possibilité de gagner 9€ et le jeu sera alors tout à l'avantage d'Alice.
Pour contrecarrer le cas où Bob jouerait systématiquement "face" (et gagnerait 1€ à chaque fois), Alice devra jouer un "pile" sur 5 coups aléatoirement.
Re-bonne journée.

Ne donne pas trop d'indice , laisse nous poser nos affaires

Y'en a qui bossent

Si A et B choisissent pile avec les probabilités p et q alors B l'espérance de gain Pour A est G(p)=6p+6q-20pq-1 .

Reste à voir ce qu'on peut faire avec ça

Vasimolo

Bravo à ThomasLRG pour la première réponse correcte.

@Vasimolo: Oui Spoiler : [Afficher le message] Et dans cet intervalle quelle est la valeur qui maximise l'espérance si l'autre s'adapte au mieux?

C'est un problème à deux joueurs à information complète et imparfaite (
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … ormation)

Dans ce genre de cas, une stratégie optimale est souvent aléatoire.

Soit pA la probabilité que Alice mette une pièce du coté pile.
Soit pB la probabilité que Bob mette une pièce du coté pile.

Soit X la variable aléatoire représentant le gain de Bob.

On peut résumer la situation sous forme de tableaux:

tableau de probabilité des évènements:

\\\\\\ Bob |    Pile   |      Face     |
Alice \\\\\|           |               |
---------------------------------------|
Pile       |   pA*pB   |   pA*(1-pB)   |
---------------------------------------|
Face       | (1-pA)*pB | (1-pA)*(1-pB) |
---------------------------------------


loi de probabilité de X (gain de Bob):

   x   |        -5           |       1       |   9   |
-----------------------------------------------------|
P(X=x) | (1-pA)*pB+pA*(1-pB) | (1-pA)*(1-pB) | pA*pB |
-----------------------------------------------------

Ainsi l'espérance de gain de Bob est:

[latex]E(X)=-5.\big((1-pA).pB+pA.(1-pB)\big)+(1-pA).(1-pB)+9.pA.pB[/latex].

Il s'agit maintenant "d'équilibrer" ce gain.

Après calcul, on trouve pA=pB=0.3 .

Avec cette proba, l'espérance vaut -0.8 donc négative donc Bob est moyennement perdant dans l'histoire.

Je reviens une dernière fois sur ce que j'ai dit : Bob ne peut pas influer sur le gain d'alice vu qu'elle gagne toujours la même chose.Par contre Alice peut changer les espoirs de gain de bob en optimisant le nombre de pièces côté pile qu'elle met.

Je n'ai traité que le cas où elle met 2 pièces côté pile sur 10.

Si bob choisit de mettre  toutes ses pièces côté face, il perds 2 euros par groupe de 10 pièces

S'il met une pièce côté pile : 2 combinaisons lui font gagner 12 euros et 8 combinaisons lui font perdre 8 euros : il perd en moyenne 2 euros par groupe de 10 pièces.

S'il met 2 pièces côté pile : 1 combinaison lui fait gagner 26 euros , 16 combinaisons lui font gagner 6 euros et 28 combinaisons lui font perdre 14 euros : il perd en moyenne 6 euros par groupe de 10 pièces.

S'il met 3 pièces côté pile : 8 combinaisons lui font gagner 20 euros, 56 combinaisons lui font gagner 0 euros et 58 combinaisons lui font perdre 20 euros : il perd en moyenne 10 euros par groupe de 10 pièces.

... Ca empire après car il a de moins en moins de chances de gagner à mon avis mais j'ai la flemme d'aller jusqu'au bout.

... Le jeu n'est pas équitable, Alice est sûre de gagner en moyenne.
On doit pouvoir optimiser le rapport 2 pile / 10 pièces. Mais bon la question était juste "le jeu est-il équitable ? "

Beau problème qui mérite un petit temps de réflexion...
Intuitivement, on peut penser que c'est Alice qui est maître du jeu...
Comme aucun ne connait la stratégie de l'adversaire, on est bien obligé de considérer des placements au hasard, et seules les proportions de Pile ou Face pourraient influer sur le résultat...
Soit A l'espérance d'Alice et B celle de Bob, on peut tenter de calculer ce rapport: B/(A+B). Si xB est la proportion de Pile par rapport aux Faces de Bob, l'équation a cette forme:(axB+b)/(cxB+d) où a,b,c, d sont paramétrables par pA, proportion de Piles par rapport aux Faces de Alice.
Cette fonction a une valeur fixe quand a/b=c/d quel que soit xB. Le résultat est b/d.
Après calcul numérique, je trouve que si Alice place 1/4 de Piles au hasard dans son jeu, alors le rappport B/(A+B) est fixé à 3/8 qui est inférieur à 1/2.
Alice est donc assurée alors de gagner à tous les coups, car son gain sera de 5/8.

@irmo322: La modélisation est bonne, il doit cependant trainer une erreur de calcul quelque part.

@Vasimolo: C'est juste

@nono2:

le fait qu'ils font eux-mêmes la pile a-t-elle une incidence sur les résultats ?

Spoiler : [Afficher le message] He bien, ils ont le droit de choisir quelle sera la face visible de chaque pièce. Si ca n'a pas d'influence alors il faut le démontrer. (j'ai bien dit "si")

@nodgim: La démarche est bonne mais le calcul réalisé me semble douteux, le résultat n'est pas exact.

@dhrm7:
L'adversaire "gagne": ceci veut dire que l'autre lui donne, c'est vrai dans l'idéal j'aurais du le préciser, mais bon vu que Alice et Bob joue ensemble...
Ça dépend aussi de l'objectif: Sans banque, maximiser son capital ou maximiser l'écart par rapport à l'adversaire c'est identique. Et comme c'est de l'argent on peut supposer de toute manière que chacun veut maximiser son capital.
En tout cas tu t'y prend comme il faut, tu traites tous les cas possibles d'interprétation subjective du probleme c'est très bien.
Le dernier paragraphe correspond à l'interprétation attendue et est juste, je ferais les calculs pour avec la banque.