Si les paires sont indifférentiables, on ne considèrera pour leur répartition que le nombre de paires de chaussettes dans chaque tiroir.

De plus, on peut considérer qu'il y a un ordre dans lesdits tiroirs, vu qu'ils sont à des endroits différents (généralement, les uns par-dessus les autres, mais je n'ai jamais visité ton chez-toi).

Allons-y petit à petit.

- [latex]n_1[/latex] paires de chaussettes dans deux tiroirs : on en met [latex]k[/latex] dans le premier, [latex]n_1-k[/latex] dans l'autre, ça fait [latex]n_1+1[/latex] possibilités.

- [latex]n_2[/latex] paires de chaussettes dans trois tiroirs : on en met [latex]n_2 - k[/latex] dans le premier, [latex]k[/latex] réparties dans les deux autres avec, à chaque fois, [latex]k + 1[/latex] façons. Total :
[TeX]\sum_{k=0}^{n_2} \left( k + 1 \right) = \sum_{k=1}^{n_2 + 1} k  = \frac{(n_2 + 1) (n_2 +2)}{2}[/TeX]
- [latex]n_3[/latex] paires de chaussettes dans quatre tiroirs : on en met [latex]n_3 - k[/latex] dans le premier,  [latex]k[/latex] réparties dans les trois autres avec, à chaque fois, [latex]\frac{(k + 1) (k +2)}{2}[/latex] façons. Total :
[TeX]\sum_{k=0}^{n_3} \frac{(k + 1) (k +2)}{2}[/TeX]
Je passe le long développement sur papier...
[TeX]= \frac{1}{6} (n_3 + 1) (n_3 + 2) (n_3 + 3)[/TeX]
Tout ça pue la récurrence, ce qui me fait me dire :
- que quelque chose de plus simple m'échappe sans doute, et
- que la formule pour [latex]n_4[/latex] paires dans 5 tiroirs risque d'être [latex]\frac{1}{24} (n_3 + 1) (n_3 + 2) (n_3 + 3) (n_3 + 4)[/latex]. Ca donnerait, avec [latex]n_4 = 100[/latex], 4598126 façons, ce qui est validé par la case réponse. J'approche.

J'ai fait le calcul pour le délire, avec la même stratégie, et je retombe bien sur la formule générale ci-dessus. On peut sans doute encore généraliser, peut-être plus simplement que je ne l'ai fait...

M'en fous, j'ai trouvé

Nah, en fait j'avais fait des erreurs. J'ai repris au calme, sur papier, et avec une petite simplification. Maintenant, c'est bon.

Je dirais (5-1) parmi (100+5-1) = 4 598 126

  Je m'explique : Je prends un problème équivalent en rajoutant 5 chaussettes (pour le calcul ) avec la règle qu'il est obligé d'y avoir au moins une chaussette par tiroir.
(pour retrouver les distributions du problème initiale, il suffit de retirer une chaussette à chacun des tiroirs).

Axiome 1: les tiroirs sont les uns aux dessus des autres (c'est très important )

  Maintenant à une distribution de chaussette, je fais correspondre aux quatre tiroirs du bas le nombre de chaussettes dans les tiroirs du dessus, j'obtiens ainsi 4 nombres distincts (grâce à la règle d'une chaussette minimum) compris entre 1 et 104 (104 est atteint pour le tiroir du bas s'il n'y a qu'une seule chaussette dedans).

  Inversement il est facile à partir de 4 nombres distincts entre 1 et 104 de retrouver une distribution de chaussette.
exemple (1,2,3,4) : une chaussette dans les 4 tiroirs supérieurs, 101 dans le tiroir du bas.

Conclusion : il y a une bijection entre les distributions de chaussette et les ensembles de 4 nombres pris parmi 104.

C'est corrigé

Je me plante peut-être , mais je pense qu'on peut représenter les 100 paires par une chaine de 100 zéros.

00000000000000000000000000000....0000000000000000000000000000000

Puis mettre des 1 qui représentent la répartition des paires dans les tiroirs. Il y a donc un 1 à la fin car on range les 100 paires et quatres autres à répartir comme bon nous semble.

Par exemple , Pas de chaussette dans le premier tiroir, une paire dans le second, aucune dans le troisième , 5 dans le quatrième et 94 dans le dernier pourrait être représenté comme ça :

101100000100000000000000000000000....0000000000000000000000000000001

Cela revient à distinguer sans ordre 4 éléments parmi 104 et je crois que c'est la définition d'une combinaison (mais là, je ne suis pas sûr)

Cela ferait C (4,104) = 104! / (4! 100!) = 4 598 126 possibilités.

Mon raisonnement est, je le crains, un peu alambiqué, mais je trouve bien :
[TeX]\sum_{n=1}^5 \binom{99}{n-1} *\binom {5}{n} = 4598126[/latex]

  En gros, 100 c'est 1 + 1 + 1... 100 fois. J'ai donc entre chaque 1, 99 espaces où je peux mettre un + ou rien.
Si on a rien, on peut prendre la somme des 1 qui se suivent et les transformer directement en nombre (111 + 11 + 1111 -> 3+2+4).

Je connais donc le nombre de façons de faire 100, de façon ordonnée avec n termes, c'est [latex]\binom{99}{n-1}[/latex]. (On a 99 espaces et n termes sont crées avec n-1 signes interchangeables).

C'est à dire que j'ai, par exemple, [latex]\binom{99}{4}[/latex] façons de remplir la commode en remplissant tous les tiroirs.

Mais une difficulté s'ajoute, quand on considère qu'il faut aussi prendre en compte les tiroirs vides. Il faut alors multiplier le nombre de façons de ranger n tiroirs et le nombre de lot distincts de n tiroirs. Pour 4 tiroirs remplis, j'ai [latex]\binom{99}{3}*\binom{5}{4}[/TeX]
Je généralise pour toutes les situations avec la formule. Je suis sûr qu'il doit exister plus simple...

Sympa cette énigme, j'aime beaucoup les problèmes que l'on peut "vulgariser" par une astuce mais qui laissent aussi la possibilité à des Mathias de sortir des formules auxquelles je ne comprends presque rien et de calculer la bonne réponse.

w9Lyl6n j'ai presque tout compris ! Tu va finir par me réconcilier avec les maths

Le raisonnement de Gwen est sympa aussi :

Il y a 100 "0" et 4 "1" à placer.
Cela revient à choisir l'emplacement des 4 "1" parmi les 104 chiffres.

Ah oui, moi aussi, la démarche de Gwen, je la trouve, comment dire, très chou(ss)ette !

La solution de Gwen a ceci de remarquable que c'est facile de généraliser le problème à  [latex]p[/latex] chaussettes dans [latex]n[/latex] tiroirs...

Klimrod a écrit:

La solution de Gwen a ceci de remarquable que c'est facile de généraliser le problème à  [latex]p[/latex] chaussettes dans [latex]n[/latex] tiroirs...

Je signale que pour une fonction [latex]C^p[/latex] de [latex]n[/latex] variables, cela correspond au nombre de dérivées partielles [latex]p^{èmes}[/latex].