Le niveau d'eau passe de 1 dm à (pi/4-pi/6)/(pi/4)=1/3, mais pas de façon linéaire. Soit h le niveau supérieur de la sphère (passant de 1 dm à 0) et H celui de l'eau.
H = (Vol_ini-Var_vol)/Surf_cyl = (pi/4+h³pi/6-pi/6)/(pi/4) = (2h³+1)/3
Voyons comment varie: H-h = f(h) = (2h³+1)/3 - h
La dérivée: f'(h) = 2h²-1 s'annule pour: h = V2/2 et f(V2/2) = (1-V2)/3 < 0
On en déduit que H-h est, au début de la sublimation, négatif. Puis, pour une certaine valeur (non calculée ici), H-h devient positif pour le rester jusqu'au bout.
A noter que la valeur de H = (2h³+1)/3 n'est valable que tant que H-h > 0 (le niveau supérieur de la sphère est pour H-h < 0 au dessus de celui de l'eau, mais H est alors plus difficile à calculer).
Conclusion: au début de la sublimation, le niveau d'eau passe en dessous du niveau supérieur de la sphère et, "à un moment donné", repasse au dessus (et le reste jusqu'à la fin).

Je dois chercher compliqué...

La hauteur de la sphère est 2R (R allant de 1 à 0 )

Le volume total est donc 4/3 pi R^3 + 2/3  pi

Si ce volume divisé par 2 pi est supérieur à 2R ça doit passer...

2/3 R^3 - 2R+ 1/3 dans l'intervalle 0 1   s'annule  pour 0,16... Donc, si je ne fais pas d'erreur la sphère va émerger un moment avant de replonger.

Ceci dit, il y a de fortes chances que je me trompe. D'ailleurs, plus je me relis, plus je me dis que c'est incohérent vu qu'elle est immergée au départ et à la fin... je pense plutôt que je vais reprendre ton problème en réfléchissant bien.

Je ne comprends pas : Si le récipient est sphérique comme le contenant, aucune eau ne peut entre dans le récipient puisque la sphère en occupe déjà tout le volume...

La glace cessera d'être immergée dès qu'elle commencera à fondre et restera hors de l'eau au moins jusqu'à ce que la surface de la sphère soit plus petite que le double de la surface initiale de l'eau.
En effet pour une sphère immergée de surface S, quand elle perd dr de rayon son volume diminue de Sdr, son sommet descend de 2dr et le volume de l'eau descend de Sdr/Seau.
Évidemment dès que la sphère sort de l'eau le calcul différentiel se complique, mais au cas où le niveau se rapprocherait du haut de la sphère, alors le principe ci dessus redeviendrait valable.

Je pense que l'eau autour de la sphère doit rapidement geler et la sphère restera donc sous la surface mais en contact avec elle jusqu'à ce qu'elle ait complètement disparue...

Soit R le rayon du cylindre (et de la boule de carboglace au début) et r le rayon de la boule à un moment donné. r varie de R à 0. R vaut 0,5 dm mais je garde la variable pour les calculs (vérification de l'homogénéité des unités plus facile).

Je note V(r) le volume nécessaire d'eau pour que celle-ci recouvre tout juste la boule, c'est-à-dire que celle-ci soit tout juste immergée.
[TeX]V(r)=2r \pi (R^2-r^2)[/latex] (couronne cylindrique de hauteur 2r autour de la boule)

[latex] + \pi r^2.2r - \dfrac43 \pi r^3[/latex] (eau au dessus et et au dessous à la verticale de la boule dans un cylindre de rayon r et de hauteur 2r).

D'où en simplifiant: [latex]V(r)=2{\pi}(r.R^2 - \dfrac23 r^3) [/TeX]
On trouve bien que:
[TeX]V(R)=2\pi R^3-\dfrac43\pi R^3[/latex] et [latex]V(0)=0[/TeX]
Au début de l'expérience, le cylindre contient une quantité V(R) d'eau et comme la quantité d'eau reste constante, il y a toujours cette quantité d'eau tout au long de l'expérience.

Lorsque le rayon vaut 'r' il faut V(r) eau pour recouvrir la boule. Donc si [latex] V(R) \geqslant  V(r) [/latex] la boule est recouverte d'eau mais si [latex] V(r) > V(R) [/latex] la boule dépasse du niveau de l'eau.

Cherchons donc la condition sur r pour que la boule ne soit pas immergée:
[TeX] V(r)>V(R) \Leftrightarrow 2 \pi (rR^2 - \dfrac23 r^3) > 2 \pi (R^3 - \dfrac23 R^3) [/TeX][TeX] \Leftrightarrow 3rR^2-2r^3 > 3R^3-2R^3 [/TeX][TeX] \Leftrightarrow 2r^3-3R^2r+R^3 < 0 [/TeX]
Or on connait la racine évidente r=R donc:
[TeX] \Leftrightarrow (r-R)(2r^2+2rR-R^2) < 0 [/TeX]
Or r<R (on ne cherche pas la solution r=R que l'on connait déjà) donc:
[TeX] \Leftrightarrow 2r^2 + 2rR - R^2 > 0 [/TeX]
Polynôme du second degré en r à coefficient dominant positif: il est positif à l'extérieur des racines.
Celles-ci se trouvent très simplement:
[TeX]R\dfrac{\pm\sqrt2-1}2[/TeX]
Donc finalement, pour r variant de [latex]R[/latex] à [latex] R \dfrac{ \sqrt2-1}2 [/latex] la boule de glace dépasse du niveau de l'eau.
Donc dès que la boule se met à se sublimer et jusqu'à atteindre un diamètre d'environ 0,2 dm elle dépasse du niveau de l'eau et ensuite elle est recouverte d'eau jusqu'à avoir entièrement disparu.

J'ai trouvé cette énigme intéressante voire paradoxale qu'une boule recouverte d'eau et diminuant de volume se mette à dépasser le niveau de l'eau.

J'espère que vous l'avez aussi apprécié. Ne vous fiez pas toujours à vos intuitions

PS: J'ai pas mal galéré avec le nouvel interpréteur LaTeX. Il est très sensible...