Fait à la va-vite, corrigez les erreurs s'il y en a

Le nombre de zéros pour [latex]10^n[/latex] est déjà minoré :
[TeX]f(10^n) \ge 2^{n-2}(5^n-1)[/TeX]
Donc [latex]\frac{f(10^n)}{10^n} \ge \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \times 5^n}[/latex]

et, en passant à la limite, [latex]\lim_{n \to \infty} \frac{f(10^n)}{10^n} \ge \frac{1}{4}[/latex]

Ensuite, comme le montre ma petite étude rapide, [latex]f(10^n) = 2^{n-2}(5^n-1) + \sum_{i=n + 1}^{\infty} E \left( \frac{10^n}{5^i} \right)[/latex]
[TeX]= 2^{n-2}(5^n-1) + \sum_{i=1}^{\infty} E \left( \frac{2^n}{5^i} \right)[/TeX]
[TeX]= 2^{n-2}(5^n-1) + f(2^n)[/TeX]
[TeX]\le 2^{n-2}(5^n-1) + 2^n[/TeX]
Du coup, [latex]\frac{f(10^n)}{10^n} \le \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \times 5^n} + \frac{1}{5^n}[/latex] et on a encore une limite qui vaut un quart.

On conclut avec le théorème des gendarmes, et on trouve une approximation du nombre de zéros d'un gogolplex qui vaut un quart de gogolplex

je reprends mon message en corrigeant les erreurs et je donne également un encadrement de la valeur recherchée à un gogol près. Je vais essayer de pas chambouler la mise en page du forum.

herbert a écrit:

soit [latex]x[/latex] un nombre entier dont on veut calculer le nombre de zéros à la fin de sa factorielle [latex]x![/latex].
Ceci revient à calculer le nombre de [latex]5[/latex] dans la décomposition en facteurs premiers de [latex]x![/latex]
Le nombre de facteurs 5 dans [latex]x[/latex] est donné par:
[TeX]f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }\left \lfloor \frac{x}{5^{i}} \right \rfloor[/latex]

Il nous faut calculer [latex]f(x)[/latex] pour [latex]x[/latex] sous la forme [latex]x=10^{n}[/latex].
[latex]f(10^n)=\sum_{i=1}^{\infty }\left \lfloor \frac{10^n}{5^i} \right \rfloor=2^{n}\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{5^{n}}{5^{i}} \right \rfloor+ \sum_{i=n+1}^{\infty }\left \lfloor \frac{2^{n}5^{n}}{5^{i}} \right \rfloor[/TeX]
[TeX]  =2^{n}\frac{(5^{n}-1)}{4}+\sum_{j=1}^{n}\left \lfloor \frac{2^{n}}{5^{j}} \right \rfloor[/TeX]
On voit bien ici l'erreur commise, j'ai oublié de calculer le nombre de zéros derrière [latex]2^{n}![/latex].
Ensuite on peut dire que:
[TeX]\frac{2^{n}}{5^{j}} - 1< \left \lfloor \frac{2^{n}}{5^{j}} \right \rfloor\leqslant \frac{2^{n}}{5^{j}}[/TeX]
[TeX]\sum_{j=1}^{n}(\frac{2^{n}}{5^{j}} - 1)=(\sum_{j=1}^{n}\frac{2^{n}}{5^{j}})-n[/TeX]
[TeX]\sum_{j=1}^{n}\frac{2^{n}}{5^{j}}=2^{n}\frac{5^{n}-1}{4 \times 5^{n}}[/TeX]
et donc
[TeX]2^{n}\frac{(5^{n}-1)}{4}+2^{n}\frac{5^{n}-1}{4 \times 5^{n}}-1< f(10^n)\leqslant 2^{n}\frac{(5^{n}-1)}{4}+2^{n}\frac{5^{n}-1}{4 \times 5^{n}}[/TeX]
on réorganise
[TeX]2^{n}\frac{(5^{n}-1)}{4}+2^{n}\frac{5^{n}-1}{4 \times 5^{n}}=\frac{2^{n}(5^{2n}-1)}{4 \times 5^{n}}[/TeX]
au final on obtient un encadrement à n près:
[TeX]\frac{2^{n}(5^{2n}-1)}{4 \times 5^{n}}-n< f(10^n)\leqslant \frac{2^{n}(5^{2n}-1)}{4 \times 5^{n}}[/TeX]
qui est plus lisible en:
[TeX]\frac{10^{n}}{4}-n-\frac{2^{n-2}}{5^{n}}< f(10^n)\leqslant\frac{10^{n}}{4}-\frac{2^{n-2}}{5^{n}}[/TeX]
remarquons que
[TeX]\frac{2^{n-2}}{5^{n}}<1[/TeX]
et donc:
[TeX]\frac{10^{n}}{4}-(n+1)< f(10^n)\leqslant\frac{10^{n}}{4}[/TeX]
pour un gogol ça donne
[TeX]f(10^n)\leqslant 25000000000000000000000000000000000000000000000[/TeX]
[TeX]00000000000000000000000000000000000000000000000000000[/TeX]
[TeX]f(10^n)> 24999999999999999999999999999999999999999999999[/TeX]
[TeX]99999999999999999999999999999999999999999999999999899[/TeX]
pour un gogolplex le nombre de zéros se situe entre 1/4 de gogolplex et 1/4 de gogolplex moins un gogol+1.

Oui, bravo herbert. Cela donne un encadrement très précis.

2 petites remarques :

En fait l'inégalité est stricte à droite : [latex]f(10^n)<\frac{10^n}4[/latex]

A gauche, on peut faire un petit peu mieux en constatant que la somme des [latex]E\left(\frac{2^n}{5^j}\right)[/latex] s'arrête bien avant [latex]j=n[/latex].

Sinon, pour le cas général, ce n'est pas très éloigné du cas [latex]10^n[/latex].

L'inégalité stricte à droite est toujours valable, même pour le cas n=0.

En arrêtant la somme des [latex]E\left(\frac{2^n}{5^j}\right)[/latex] à [latex]j=E\left(\frac{\ln 2}{\ln 5}n\right)[/latex], on obtient :
[TeX]f(10^n) \geq \frac{10^n}4 - E\left(\frac{\ln 2}{\ln 5}n\right) - \frac{2^{n-2}}{5^{E\left(\frac{\ln 2}{\ln 5}n\right)}}[/TeX]
donc [latex]f(10^n) \geq \frac{10^n}4 - E\left(\frac{\ln 2}{\ln 5}n\right) - 1[/latex]

Avec [latex]\frac{\ln 2}{\ln 5}\simeq 0,43[/latex], on y gagne un petit peu en précision.

Ainsi, pour un gogol ça donne :
[TeX]f(10^{100}) \leq 24999999999999999999999999999999999999999999999[/TeX]
[TeX]99999999999999999999999999999999999999999999999999999[/TeX][TeX]f(10^{100}) \geq 24999999999999999999999999999999999999999999999[/TeX]
[TeX]99999999999999999999999999999999999999999999999999957[/TeX]

Pour aller plus loin, je vous propose de passer en base 5 (notations avec une barre au-dessus des chiffres) pour comprendre ce qui se passe.

Nous allons y calculer [latex]g(2^9)=g(512)=g(\overline{4022})[/latex] :

Tout d'abord [latex]f(\overline{4022})=\overline{402}+\overline{40}+\overline{4}[/latex]

D'autre part, [latex] \overline{4022}/4 =\overline{402,2}+\overline{40,22}+\overline{4,022}+\overline{0,4022}+\overline{0,04022}+...[/latex]

donc [latex]g(\overline{4022})=\overline{0,2}+\overline{0,22}+\overline{0,022}+\overline{0,4022}+\overline{0,04022}+...[/latex]
[TeX]=\overline{0,22222...}+\overline{0,222222...}+\overline{0,444444...}=\frac{2+2+4}4=2[/TeX]
On voit que [latex]g(n)[/latex] est égal au quart de la somme des chiffres de [latex]n[/latex] en base 5.

On peut ainsi, par exemple, aisément calculer à la main le nombre de zéros de
1 000 000 000 000 000! en cherchant [latex]2^{15}[/latex] en base 5 :
2, 4, 13, 31, 112, 224, 1003, 2011, 4022, 13044, 31143, 112341, 230232, 1011014, 2022033.

Ainsi [latex]g(10^{15})=\frac{2+0+2+2+0+3+3}{4}=3[/latex]

et donc [latex]f(10^{15})=249 999 999 999 997[/latex]

Avec un peu de patience, on peut même calculer à la main le nombre de zéros de gogol!, en trouvant que
[TeX]2^{100} = \overline{10241422120332320213311333103110222010033001}[/TeX]
d'où [latex]g(2^{100})=72/4=18[/latex] et donc
[TeX]f(10^{100})=249999999999999999999999999999999999999999999[/latex][latex]9999999999999999999999999999999999999999999999999999982[/TeX]
Pour finir, ceci permet de donner un encadrement de [latex]f(n)[/latex], puisque le nombre de chiffres de [latex]n[/latex] dans son écriture en base 5 est donné par [latex]E(\log_5(n))+1[/latex] et donc
[TeX]\frac{n}4-E(\log_5(n))-1 \leq f(n) < \frac{n}4[/TeX]
Ceci montre que [latex]\frac{f(n)}{n}[/latex] tend vers [latex]\frac14[/latex].

shadock a écrit:

Euh moi ça ne pourri pas l'afichage que j'ai...

Bah maintenant non, vu que j'ai tout édité pour raccourcir les lignes.