Partie avec 32 cartes

Tout d'abord, je vais étudier les cas où c'est à mon tour de jouer et où j'ai devant moi de 1 à 32 cartes. Je vais appeler ces cas, cas 1, cas 2, cas 3 ... cas 32.

Cas 1 : Je prends la carte et je gagne.
Cas 2 : Je prends les 2 cartes et je gagne.
Cas 3 : Je prends les 3 cartes et je gagne.
Cas 4 : Je perds. Cas à éviter.
Cas 5 : Je prends les 5 cartes et je gagne.
Cas 6 : J'en prends 2. L'adversaire se trouve devant la cas 4 et donc je gagne.
Cas 7 : Je prends les 7 cartes et je gagne.
Cas 8 : Je perds. Cas à éviter.
Cas 9 : J'en prends 1. L'adversaire se trouve devant la cas 8 et donc je gagne.
Cas 10 : J'en prends 2. L'adversaire se trouve devant le cas 8 et donc je gagne.
Cas 11 : Je prends les 11 cartes et je gagne.
Cas 12 : Je perds. Cas à éviter.
Cas 13 : Je prends les 13 cartes et je gagne.
Cas 14 : J'en prends 2. L'adversaire se trouve devant le cas 12 et donc je gagne.
Cas 15 : J'en prends 3. L'adversaire se trouve devant le cas 12 et donc je gagne.
Cas 16 : Je perds. Cas à éviter.
Cas 17 : Je prends les 17 cartes et je gagne.
Cas 18 : J'en prends 2. L'adversaire se trouve devant le cas 16 et donc je gagne.
Cas 19 : Je prends les 19 cartes et je gagne.
Cas 20 : Je perds. Cas à éviter.
Cas 21 : J'en prends 1. L'adversaire se trouve devant le cas 20 et donc je gagne.
Cas 22 : J'en prends 2. L'adversaire se trouve devant le cas 20 et donc je gagne.
Cas 23 : Je prends les 23 cartes et je gagne.
Cas 24 : Je perds. Cas à éviter.
Cas 25 : J'en prends 1. L'adversaire se trouve devant le cas 24 et donc je gagne.
Cas 26 : J'en prends 2. L'adversaire se trouve devant le cas 24 et donc je gagne.
Cas 27 : J'en prends 3. L'adversaire se trouve devant le cas 24 et donc je gagne.
Cas 28 : Je perds. Cas à éviter.
Cas 29 : Je prends les 29 cartes et je gagne.
Cas 30 : J'en prends 2. L'adversaire se trouve devant le cas 28 et donc je gagne.
Cas 31 : Je prends les 31 cartes et je gagne.
Cas 32 : Je perds. Cas à éviter.

Or le cas 32 est la situation initiale. Comme je perds au cas 32 (comme à tous les cas multiples de 4), je laisse jouer mon adversaire qui donc va perdre. Voici les différents choix qu'il peut faire et comment je peux les contrer :

Il y a 32 cartes.
- Il prend 1 carte, j'en prends 31 → Je gagne.
- Il prend 2 cartes, j'en prends 2 : Cas 28 → Je gagne.
- Il prend 3 cartes, j'en prends 29 → Je gagne.
- Il prend 5 cartes, j'en prends 11 : Cas 16 → Je gagne.
- Il prend 7 cartes, j'en prends 5 : Cas 20 → Je gagne.
- Il prend 11 cartes, j'en prends 9 : Cas 12 → Je gagne.
- Il prend 13 cartes, j'en prends 19 → Je gagne.
- Il prend 17 cartes, j'en prends 7 : Cas 8 → Je gagne.
- Il prend 19 cartes, j'en prends 13 → Je gagne.
- Il prend 23 cartes, j'en prends 5 : Cas 4 → Je gagne.
- Il prend 29 cartes, j'en prends 3 → Je gagne.
- Il prend 31 cartes, j'en prends 1 → Je gagne.

Donc, pour gagner avec 32 cartes, je laisse mon adversaire jouer en premier.
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Partie avec 54 cartes

Quand j'ai étudié les cas, j'ai remarqué qu'on pouvait les classer en 3 groupes :
groupe 1 des cas premiers, groupe 2 des cas multiples de 4, groupe 3 des cas qui font en sorte que l'adversaire se trouve en face d'un cas multiple de 4.
Certains nombre premiers font également partis du dernier groupe. Je vais les classer ainsi pour étudier une partie avec 54 cartes.

Cas du groupe 1 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53
Cas du groupe 2 : 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52
Cas du groupe 3 : 5,6,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,21,22,23,25,26,27,29,30,31,33,34,35,37,38,39,
41,42,43,45,46,47,49,50,51,53,54

Quand on se trouve face à cas du groupe 2, on perd obligatoirement. Donc pour gagner une partie de 54 cartes, je joue en premier et je prend 2 cartes. Comme ça, je suis sûr de gagner.

Mes réponses après un long blabla qui a presque servi à rien :
- Cas d'une partie avec 32 cartes : je laisse jouer mon adversaire en premier.
- Cas d'une partie avec 54 cartes : je joue en premier et je prends 2 cartes.

Ouverture : Maintenant, on peut se poser la question avec les mêmes parties mais avec n joueurs.

Le second va gagner.

On ne peut en laisser ni un nombre premier, ni 1,2,3,...

On gange si on en laisse 4 ou 8  (maximum d'écart entre les nombres premiers de 1 à 31 ) 

Chacun est donc obligé d'en prendre 2 tour à tour pour ne pas perdre au coup suivant. Le second en laissera 8 en premier et gagnera à coup sûr.

Bonnes réponses de SabanSuresh , Titoufred , Gwen et Masab

Vasimolo

Salut Vasimolo,
Ne t'excuse pas trop pour la non primalité de 1, il fut un temps pas si lointain où 1 était premier...
Sinon, je dirais que si on commence  la partie avec un multiple de 4 , on perd, et dans le cas contraire on gagne. C'est un peu le jeu de nim avec des allumettes.

Il faut regarder les combinaisons gagnantes :

Si on laisse 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31  (premiers) à l'adversaire, on perd
Si on laisse 4, on gagne forcément ! (1+3 ou 2+2)
Si on laisse 6, l'autre peut prendre 2 pour nous laisser 4, on perd.
Si on laisse 8, l'autre perd si il prend 7, 5, 3, 2 ou 1 car il ne laisse que des combinaisons perdantes. Donc laisser 8 gagne !
Si on laisse 9 ou 10, l'autre nous laisse 8 et on perd.
Si on laisse 12, l'autre ne peut pas laisser 4 ni 8, donc 12 gagne !
Si on laisse 14 ou 15, l'autre nous laisse 12 et on perd.
Si on laisse 16, l'autre ne peut pas nous laisser 4, 8 ou 12, donc 16 gagne.

Je suppose donc qu'à 32 cartes, on a pas moyen de gagner en commençant, puisqu'il s'agit d'un multiple de 4.

Pour gagner, le joueur 2 se débrouillera pour laisser un multiple de 4 à chaque tour.


Démonstration :

Affirmation : Laisser 4k permet de gagner.

1/ Vrai au rang 1 : Laisser 4 au suivant lui impose de prendre ensuite 1, 2 ou 3 et on prendra le complément : 3, 2 ou 1.

2/ Si c'est vrai au rang n, (on laisse 4k au suivant), comme les multiples de 4 ne sont pas premiers, le joueur 2 ne pourra pas nous laisser un multiple de 4k. Il nous laissera donc autre chose (en prenant forcément 2 ou un nombre impair).
a) Si il prend un impair multiple de 4k-3, on prendra 1, qui lui laissera de nouveau un multiple de 4k
b) Si il prend 2, on prend 2 aussi qui lui laisse de nouveau un multiple de 4
c) Si il prend un impair multiple de 4k-1, on prendra 3 qui lui laissera encore un multiple de 4k.

C'est vrai au rang 1 et ensuite pour n'importe lequel si le précédent est vrai, ceci conclu donc la récurence.

Un nouveau wagon de bonnes réponses avec Godisdead , Nodgim , Hibernatus , Golgot et Klimrod

Vasimolo

On peut également regarder la variante suivante à 52 cartes :

Chacun prend à son tour un nombre premier de cartes. 1 n'est pas premier. Celui qui ne peut plus jouer a perdu.

Je prends 43 cartes, il en reste 9.
Si tu joues 7, je joue 2 je gagne.
Si tu joues 5, je joue 3, reste 1, tu ne peux la jouer, je gagne.
Si tu joues 3, je joue 5 je gagne.
Si tu joues 2, je joue 7 je gagne.

Il serait interessant, sur cette base, de trouver les coups de départ gagnants ou perdants en fonction du nb de cartes.

Bien vu nodgim. Et avec 55 cartes ?

Donc on enlève 7 à 55. L'adversaire se trouve devant le cas 48 et perd, c'est ça ???
Mais il pourrait prendre le 47 et on ne peut pas prendre la carte restante. Pour moi 48 est gagnant.