Sauf erreur [latex]4^n[/latex]

Vasimolo

2^2n ?

Ah? ... Oui peut-être

Si je fais [latex]n-k[/latex] pliures dans le sens de la longueur et [latex]k[/latex] pliures dans le sens de l'épaisseur (i.e. au total [latex]n[/latex] pliures) et que j'obtiens un carré alors  [latex]L/2^{n-k} = e/2^k}[/latex] et donc  [latex]L = 2^{n-2k} e[/latex]

Par contre je ne comprend pas la question supplémentaire.

l'épaisseur est 2^n e

La longueur est L or L =2^2n e

donc le rapport est 2^n

Effectivement, j'ai corrigé même si je ne suis pas encore tout à fait sûr de moi.

On imagine bien le pliage comme ça ?

C'est là où j'ai du mal ... Quelle approximation prends-tu ? Car la distance ne sera pas la même sur les deux faces. Un tel problème est, de toute façon, une vue de l'esprit non ?

Je vais supposer que l'épaisseur de la bande pliée est doublé à chaque pliage.

Après n pliages, l'épaisseur fait donc : e 2^n.
Si après n pliages nous avons une tranche carrée, sa surface est : (e 2^n)^2=e² 2^(n+1)

La surface de la tranche de la bande n'est pas modifiée par pliage, elle faisait eL à l'état initial : donc eL = e² 2^(2n)
Soit L = e 2^(2n)

Ce calcul reste très théorique car pour qu'un papier plié en deux présente un profil rectangulaire il faut que son épaisseur soir négligeable, ce qui entre en contradiction avec le carré final (pour le dernier pliage, évidemment, mais pour les précédents aussi dès que l'épaisseur se rapproche de L) ...

Pour obtenir un joli profil carré avec notre ruban initial, il faudrait enrouler le papier en une spirale carrée, dans laquelle par symétrie, on aura la même longueur de bande verticale que horizontale, ce qui répond peut-être à la question bonus !!!

Pour répondre à certaines interrogations:
Pour le pliage: votre bande est posée à plat, vous ne touchez jamais à l'extrémité gauche. Vous rabattez l'extrémité droite sur la G. C'est un 1er pliage.
Pour le second pliage, vous prenez la nouvelle extrémité droite, et vous la rabattez exactement sur la gauche.
Etc.
Ainsi le pliage fait diminuer à chaque fois la longeur de la moitié, mais attention pas tout à fait: il va bien falloir tenir compte de l'épaisseur du pliage.
On suppose que les plis se font à 90 ou 180°.
On prendra pour longueur moyenne l'axe de la bande.

Comme les questions sont fraiches, je redonne du temps.

Dylasse oui.
On supposera une certaine élasticité au papier, car localement les 2 faces ont des longueurs différentes, même si dans le total il n'y a de différence.

D'accord, je crois que j'ai compris.

Après [latex]n[/latex] pliages j'obtiens une bande d'épaisseur [latex]2^ne[/latex] et de longueur, on va dire [latex]a[/latex].

La longueur totale de la bande est  [latex]L=2^na[/latex] (grossièrement, c'est la somme des [latex]2^n[/latex] morceaux de longueur [latex]a[/latex]). Si j'obtiens un carré, cela signifie que [latex]a = 2^ne[/latex] et donc [latex]L=4^ne[/latex].

Pour la question supplémentaire, si je l'ai bien comprise, je trouve un truc du genre :
[TeX]{4^n + 3*2^n -4}\over{3*4^n}[/TeX]

La différence vient peut être du fait que l'on peut considérer les extrémités comme soit appartenant aux parties horizontales, soit appartenant aux parties verticales.

J'ai choisi la deuxième option, donc par exemple la longueur du plus grand morceau vertical est [latex]2^ne[/latex] (alors qu'avec la première option ce serait [latex](2^n-2)e[/latex], et si par souci d'égalité on choisit d'en prendre 1 sur 2 alors ce serait [latex](2^n-1)e[/latex]  ).

J'ai obtenu la formule en calculant l'expression suivante :
[TeX]\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=1}^{2^j} 2i[/TeX]
Les morceaux verticaux de la partie droite sont strictement croissants.
Le plus petit est là où l'on a fait la nouvelle pliure et il est de hauteur 2.
Les suivants on chacun deux épaisseures de plus que celui qui le précède.
On obtient donc la somme des nombres pairs jusqu'à [latex]2^n[/latex].
Et sur la partie gauche on a les mêmes motifs pour les puissances de 2 inférieures.

Cela est dû au fait que quand on pli en deux la bande de papier, le motif de droite
vient se rajouter aux autres motifs de la partie gauche et sur la partie droite le nouveau motif pour la puissance de 2 supérieure est apparu.