Avec un peu de Pythagore et de tangentes, je trouve :
[TeX]s(x)=\frac{x(a^2+x^2-2xb)^2}{4a(a^2-x^2)}[/TeX]
Ma formule semble correcte aux limites
- quand [latex]x=0[/latex], l'aire est nulle (feuille pliée en 2)
- quand [latex]a^2+x^2-2bx=0[/latex], l'aire est nulle aussi car cela correspond au cas où on a plié selon la diagonale de la feuille.

Ne reste plus qu'à maximiser !

On peut trouver une valeur exacte par le calcul d'une dérivée ? Ou un solveur est plus approprié ? J'hésite à me lancer dans les calculs ...

EDIT
Bon les calculs sont vraiment infaisables, et Wolfram Alpha me confirme que la forme des solutions est HORRIBLE !

Je lui demande donc de calculer la dérivée de cette formule barbare, et d'en trouver les solutions.
Il en trouve plusieurs, celle qui nous intéresse et celle qui est compris entre 0 et [latex]b-\sqrt{b^2-a^2}\approx87.010[/latex]

Je trouve donc une aire maximale pour [latex]\fbox{x \approx 27.337}[/latex] mm

La case réponse valide 27.3

Pour l'aire maximale, un calcul approché me donne :
[latex]\fbox{s_{max}\approx597.1}[/latex] mm²

Le pli est la médiatrice du segment qui relie le coin quitté et la nouvelle position du point.

Le point doit être placé à une hauteur de 27.3 mm
(27.336873368...)
La surface S est alors 597.100... mm²

Pas de nouvelles réponses ?
Bon, je vous rajoute un petit conseil.

Et de 3 !
Bravo à NickoGecko !

La surface S est
[TeX]6$\red\fbox{S=\frac{x(a^2+x^2-2bx)^2}{4a(a^2-x^2)}}[/TeX]
qui admet un maximum, avec a=205 et b=285



on note que
S=aire(FPD')=k^2 Aire(EOB') avec k=PD/OB
car les deux triangles sont semblables.

On établit tout d'abord [latex]x^2=2aOB-a^2[/latex]
note: j'ai remplacé alpha par gamma car il était difficile de faire la différence entre alpha et a.
[TeX]tan(\frac{\gamma}2)=\frac{O'P}b[/TeX]
[TeX]tan(\frac{\gamma}2)=\frac{sin(\gamma)}{1+cos(\gamma)}=\frac{x}a[/TeX]
ce qui donne
[TeX]k=1-\frac{2bx}{a2+x^2}[/TeX]

Tout d'abord, merci et bravos aux trop peu nombreux qui ont répondu, tous correctement, à cette énigme.



Un petit coup de Pithagore permet d'exprimer :
c = (a² - x²) /2a ,  et
d = (a² + x²) /2a.
Ensuite, en y allant pas à pas (mais on pouvait aussi faire intervenir la trigonométrie) :
e = b - x
g = e * d / c    (relation entre 2 triangles semblables)
f = e * x / c    (             "             )
h = b - g
i = h * g / f     (             "             )
s = (h * i) / 2

Les plus courageux auront développé ces relations pour trouver :
s = x * (x² - 2 bx + a²)² / (4a * (a² - x²) ) ;
(Bravos à LOOping et Franck !  ).
La dérivation de cette fonction s'avérant un peu ardue on pouvait alors utiliser un solveur.

Les (un peu) moins courageux auront utilisé un tableur en entrant toutes ces formules en tête de colonnes et après les avoir recopiées sur les n lignes suivantes, et avoir incrémenté x avec des valeurs de plus en plus petites, auront trouvé le maximum de s = 597.1 mm²  pour x = 27.337 mm (bravos à halloduda et NickoGecko qui ont privilégié cette approche).

Bonjour,
J'avais bien réussi à trouver: s = x(x²-2bx+a²)² / (4a(a²-x²))
mais galéré pour la maximiser, et donc fini par abandonner.
Bonne journée à tous.
PS: Jackv, dans ta formule de s, il manque un carré (²).