En traçant [CC''] on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse 312.
En traçant l'horizontale passant par E on obtient un triangle EFI semblable à CC'B (angles à côtés perpendiculaires).
Donc 240/EF=288/312 d'où EF=260.

C'F+BF=BC et BC'=AB/2
BF=119, racine de l'équation (288-x)²=120²+x².

EF est médiatrice de CC'

CC'²=120²+288²=312²

EF=240*312/288=260

Je suis toujours preneur d'une démonstration, mais elle n'est pas obligatoire, L00ping.

soit x=CF
alors d'apres le theoreme de pythagore
x²=(288-x)²+120²
d'où 576x=97344 donc BF=169

on a CE=C'E
en posant x=AE on x²+120²=(288-x)²+240² d'après toujours le théorème de pythagore d'où 576x=126144 doù x=219 donc DE=69
Soit O le point d'intersection de la droite parallèle à (AD) passant par E avec (BC) alors FO=169-69=100
d'où EF²=100²+240² d'après le théorème de pythagore
d'où EF²=67600 donc EF=260