A force de plier vers la droite (et en supposant que c'est toujours possible physiquement bien sûr), on finit par obtenir ceci, je pense :



Plus sérieusement, ce petit pliage innocent est connu, et il permet la construction "à la main" d'une fractale : la courbe du dragon

Je suis conscient que ça ne répond pas vraiment aux questions que tu poses... mais j'ai pas envie de compter des flèches en fait... c'est dimanche hein !!!

Et pour ce qui est du pliage "une fois à droite, puis une fois à gauche", j'ai pas encore cherché, mais j'imagine qu'on va trouver quelquechose de joli.

A suivre

Je ne comprends rien à l'énoncé...

Si on plie une feuille toujours en deux vers la droite, ça fait juste des lignes verticales parallèles non ?

EDIT : je viens de comprendre, tu représentes la feuille vue par la tranche !

Je tombe sur D67 H62 G61 B66 non validé.

On peut trouver une technique récursive. Il suffit de voir que D et H dans DH qui représente un pliage peuvent être remplacés par un motifs constitué de plusieurs flèches, avec le motif restitué pour D et ayant subi une rotation dans le sens direct de 90 degré pour H. 


  Par exemple du  motif [latex]m_2[/latex] : DHGH on déduit la première moitié du motif [latex]m_3[/latex]: DHGH|****. On construit avec les règles de rotations la deuxième moitié du motif [latex]m_3 [/latex](D transformé en H, H en G, G en B, B en D )
On a ainsi [latex]m_3[/latex]: DHGH|GBGH (la symétrie s'explique du fait qu'une rotation  commence par le "bout")
  On peut trouver de la même façon la représentation graphique de [latex]m_8[/latex] (que je n'ai pas trouvé, pas envie de me casser la tête avec 256 caractères )

Pour trouver la formule générale, il faut voir comment sont définies les suites [latex](D_n), (G_n), (H_n) [/latex] et [latex](B_n)[/latex]
On a [latex] D_0=1,  G_0=0,   H_0=0,  B_0=0[/latex]
et
[TeX]D_n=D_{n-1}+B_{n-1}[/TeX][TeX]H_n=H_{n-1}+D_{n-1}[/TeX][TeX]G_n=G_{n-1}+H_{n-1}[/TeX][TeX]B_n=B_{n-1}+G_{n-1}[/TeX]
On en déduit (je l'ai vu avec un tableau ) que les suites prennent les valeurs des termes du tableau de Pascal tronqué et donc cyclique à un moment (en s"alignant avec le numéro des motifs:
Soit
[TeX]D_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n+1}{4} )} {n \choose 4k} [/TeX][TeX]H_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n}{4} )} {n  \choose 4k+1} [/TeX][TeX]G_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n-1}{4} } {n  \choose 4k+2} [/TeX][TeX]B_n= \sum_{i=0}^{ceil(\frac{n-2}{4} )} {n  \choose 4k+3} [/TeX]
ceil(n) retourne l'entier supérieur du nombre n. ceil(4,5)=ceil(4,314)=5 par exemple.
Pfiuuu....

Edit

@Gilles : J'ai bien D72H64G56B64 avec

D=C(8,0)+C(8,4)+C(8,8)=72
H=C(8,1)+C(8,5)=64
G=C(8,2)+C(8,6)=56
B=C(8,3)+C(8,7)=64
mais je trouve ce résultat indépendamment, je me suis un peu précipité pour la formule, il faut que je me relise car je me suis un peu emmêlé les pinceaux avec les lignes, le rang l'indice, les arrangements...

Pour ceux qui n'ont pas bien saisi l'énoncé, je crois que des dessins en 3D valent mieux que de beaux discours


http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-mathej3D.jpg

D72H64G56B64

avec [latex]P_n = \{D_n , H_n , G_n , B_n\}[/latex] :
[TeX]P_0 = \{1 , 0 , 0 , 0\}[/TeX]
[TeX]P_{n+1} = \{D_n + B_n, H_n + D_n, G_n + H_n, B_n+ G_n\}[/TeX]

Voici les valeurs de D(n); H(n); G(n) et B(n) suivant la valeur de n modulo 4:

Si n=0 (modulo 4), alors:
H(n)=B(n)=2^(n-2)
D(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]+(-1)^(n/4)}
G(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]-(-1)^(n/4)}

Si n=1 (modulo 4), alors:
D(n)=H(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]+(-1)^[(n-1)/4]}
G(n)=B(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]-(-1)^[(n-1)/4]}

Si n=2 (modulo 4), alors:
D(n)=G(n)=2^(n-2)
H(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]+(-1)^[(n-2)/4]}
B(n)=2^[(n-2)/2].{2^[(n-2)/2]-(-1)^[(n-2)/4]}

Si n=3 (modulo 4), alors:
D(n)=B(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]+(-1)^[(n+1)/4]}
H(n)=G(n)=2^[(n-3)/2].{2^[(n-1)/2]-(-1)^[(n+1)/4]}

Y a t-il une expression plus simple ?

toujours pas compris le coup du plis toujours à droite. Pourquoi cela ne donne-t-il pas un carré sur lequel on s'enroule ?

Ca y est, compris !

J'avais pas compris qu'il fallait plier complètement le papier pour ensuite le déplier "à moitié" (désolé)

Ah ok, c pour ça que ça ne fais pas un carré !!!
Ok, trop compliqué pour moi ...