Hello !
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Oui pour les .... surfaces possibles de gwen27, Franky1103 et masab

Mais le plus difficile reste de prouver que ce sont les seules

(Le problème est assez "ouvert" comme on dit ces temps-ci
dans l'enseignement ...
comme pour rappeler que le reste est bien fermé (sourire)²)


Une piste : (qui restreint sérieusement le domaine de recherche) qu'en est-il des surfaces à frontières courbes ?



Bonne journée.

Deux figures [latex]F_1[/latex] et [latex]F_2[/latex] sont-elles dites semblables si elles se déduisent l'une de l'autre par une similitude plane ?

Bonjour, deux solutions triviales: le triangle rectangle isocèle et le rectangle de rapport sqrt(2)
Après, si on cherche du côté des fractales, on peut trouver une foultitude de solutions:


Quelles sont donc les restrictions du problème? (dimension 2, surface compacte, nombre fini de points anguleux...)

Bonjour,
Dans ce cas, on peut démontrer que les deux figures que j'ai énoncées sont les seules.

Tout d'abord, le trait de pliage est axe de symétrie de la figure.
Remarquons d'abord que la forme est forcément simplement convexe (c'est à dire sans trou). En effet, le pliage divise au moins par 2 le nombre de trou, que le trait de pliage passe à côté ou à travers les trous.
On peut ensuite remarquer que le trait de pliage ne passe qu'une seule fois par la forme. En effet, si le trait de pliage passait par au moins deux endroits différents en ressortant de la figure entre les deux, en prolongeant par symétrie des deux côtés, on obtient un trou, ce qui est contradictoire.

Maintenant, notons m le nombre de cotés droits de la figure, c'est à dire le nombre de segment sur le bord de la figure séparés par un point anguleux ou une zone courbe.
3 cas de figures:
- si le trait de pliage coupe a ses deux extrémités un côté droit, la figure obtenue comporte m/2+2 côtés droits
- si le trait de pliage ne coupe à aucune extrémité un côté droit, la figure obtenue comporte m/2+1 côtés droits.

-Si le trait de pliage coupe à l'une des deux extrémités, la figure obtenue comporte (m+1)/2 +1 côtés droits.
Il n'y a pas de soucis de nombre de côtés non entier car une figure possédant un nombre pair de côté ne peut pas être coupé de la troisième manière, et vice versa...

Il faut donc vérifier l'une des équations suivantes:
1) m = m/2 + 2, soit m = 4
2) m = m/2 + 1 soit m  = 2 (impossible)
3) m = (m+1)/2 + 1 soit m = 3

cas 1) quadrilatère, coupe par ses côtés.
Le seul cas de symétrie est le trapèze parallèle (cerf volant non compris car axe de symétrie passant par les coins.)
On obtient deux angles droit au niveau de l'axe de symétrie, ce qui impose un rectangle. On calcule facilement le seul rapport possible, qui est racine de 2.

cas 3) triangle, isocèle pour la symétrie, un angle droit au niveau de l'axe de symétrie donc triangle rectangle isocèle.

Les cas trouvés sont donc les seuls qui existent

Dernière parenthèse:
Tu sembles supposer que la fractale que j'ai tracée découle du triangle isocèle, ce qui n'est pas complètement faux, toutefois, on peut en trouver de nombreuses autres très différente vérifiant cette propriété (telle la courbe de Koch), mais qui ne sont issues ni du triangle, ni du rectangle...
Edit:
J'ai négligé les bords courbes, deux choses à compléter:
Le cas 2) n'est pas impossible, si on a un ou deux bords courbes, mais c'est très vite écarté.
Si on a trois côté droits:
-avec un bord courbe: par symétrie, l'axe passe par le bord courbe, on voit immédiatement que ça ne marche pas,  car il y aura forcément souci de rapport entre les côtés.
-deux bords courbes: par symétrie, l'axe passe par le coin, ne laisse qu'un bord courbe
-3 bords courbes: ne laisse que 2 bords courbes

Si on a 4 côtés, on supprime de même tout les cas de figures...

Edit 2:
J'ai également oublié de supprimer le cas non connexe au tout début.
On s'aperçoit que le trait de pliage doit passer par toutes les composantes connexes (sinon le nombre de composantes connexes diminue). La direction de la figure sera la même (ou opposée) si on a plus de deux composantes connexes. On remarque alors rapidement que l'on aura un problème au niveau des rapports si on a plus d'une composantes connexes...

Une autre solution consiste à prendre un rectangle de côtés a et b avec [latex]a = b\sqrt{2}[/latex]. On plie suivant la droite joignant les milieux des grands côtés.
C'est le cas de la feuille A0 que l'on plie en A1 ; de la feuille A1 que l'on plie en A2 etc...

PS Pour l'instant, je me contente de chercher des solutions...

[Bon soir]

Plein de bonnes réponses pour ce qui est des deux formes (j'avais omis de préciser compactes. Merci caduk)
Franky1103, masab, dhrm77,

Pour ce qui est des justifications

effectivement
les surfaces totalement courbes sont à éliminer puisque par pliage apparaît un segment
et que dans les cas de figures mixtes symétriques,
si le rayon de courbure des parties courbes n'est pas constant chaque symétrie supprime un axe de symétrie
si le rayon de courbure est constant, chaque symétrie diminue l'amplitude des arcs de cercles en question.

L'explication détaillée de caduk (chapeau bas) va bien plus loin que ce que je voulais proposer
et qui revient à conclure que seuls sont possibles (du faire de la réduction du nombre des côtés comme l'a évoqué gwen27) le triangle isocèle rectangle et le rectangle du type A0; A1 ...

Merci de votre participation et partage
sur ce petit problème à énoncé simple
mais qui fait faire du chemin.




Bon tout...

Effectivement nodgim je n'ai pas précisé que
sur elle-même excluait un pliage partiel.


Merci de ta précision.

Bien vu, Caduk !

Dommage que le dessin ne soit pas correct, ta base est un peu courte.

Je vois bien par exemple la Tour Eiffel qui aurait été construite penchée, que pour remédier à ça on coupe les pieds trop longs, mais qu'on les coupe trop courts de sorte que la tour se remet à pencher mais dans l'autre sens, selon la même inclinaison. Une histoire de Shadoks, quoi. 

Sinon, il est à remarquer que le pliage peut se faire une infinité de fois, comme pour le rectangle. Sous réserve bien entendu qu'on ne soit pas gêné par l'épaisseur du papier.

Le concours est donc maintenant ouvert, existe t il d'autres figures que le triangle ou le rectangle qui restent invariables par pliage ?