Oui bravo Nodgim !

Vous pouvez à présent admirer les solutions proposées par nodgim.

Voici les chances de gagner, suivant le nombre de jetons restants, pour [le joueur à qui c'est le tour de jouer, le joueur suivant, le joueur suivant ce dernier] :

Nb de jetons : 1 : Probas gains joueurs : [    0,    1,    1] : Meilleur coup : 1
Nb de jetons : 2 : Probas gains joueurs : [    1,    0,    1] : Meilleur coup : 1
Nb de jetons : 3 : Probas gains joueurs : [    1, 1/2, 1/2] : Meilleur coup : 1=2
Nb de jetons : 4 : Probas gains joueurs : [    1, 1/2, 1/2] : Meilleur coup : 2=3
Nb de jetons : 5 : Probas gains joueurs : [    1,    1,    0] : Meilleur coup : 3
Nb de jetons : 6 : Probas gains joueurs : [ 1/2,    1, 1/2] : Meilleur coup : 2=3
Nb de jetons : 7 : Probas gains joueurs : [ 1/2, 3/4, 3/4] : Meilleur coup : 1=3
Nb de jetons : 8 : Probas gains joueurs : [ 3/4, 1/2, 3/4] : Meilleur coup : 1

On remplit le tableau de proche en proche, en choisissant le meilleur coup, c'est-à-dire celui donnant les plus grandes chances de gagner au joueur+2 parmi les 3 lignes du dessus. Les nouvelles probas de gains sont obtenues en décalant d'un rang vers la droite les probas de la ligne correspondant au meilleur coup. S'il y a plusieurs meilleurs coups possibles, on en fait la moyenne.

On voit donc que lorsque notre tour vient et qu'il reste 8 jetons, mieux vaut en prendre 1 seul, ce qui offre 3 chances sur 4 de gagner.

Pour la généralisation, on montre facilement par récurrence que

Jetons : 6n+1 : Probas : 1/3 [[latex]2-2/4^n, 2+1/4^n, 2+1/4^n[/latex]] : Coup : 1=3
Jetons : 6n+2 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2-2/4^n, 2+1/4^n[/latex]] : Coup : 1
Jetons : 6n+3 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2-2/4^{n+1}, 2-2/4^{n+1}[/latex]] : Coup : 1=2
Jetons : 6n+4 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2-2/4^{n+1}, 2-2/4^{n+1}[/latex]] : Coup : 2=3
Jetons : 6n+5 : Probas : 1/3 [[latex]2+1/4^n, 2+1/4^n, 2-2/4^n}[/latex]] : Coup : 3
Jetons : 6n+6 : Probas : 1/3 [[latex]2-2/4^{n+1}, 2+1/4^n, 2-2/4^{n+1}[/latex]] : Coup : 2=3