C'est plutôt simple.
Soit x la distance du point au bord gauche.

On a les égalités : [latex]\frac h 8 = \frac {6-x} 6\ et\ \frac h {2\sqrt7}=\frac x 6[/latex]

D'où par addition l'élimination de x et le résultat :
[TeX]h=\frac{8\sqrt7}{4+\sqrt7}=\frac{32\sqrt7-56}9  \approx 3.18489355... m[/TeX]

Que bonnes réponses

Oui halloduda, c'est plutôt simple je trouve aussi.

Equation de la courte échelle: y = x.V7/3
Equation de la longue échelle: y = 8-4.x/3
A l'intersection: x0 = 24/(4+V7) = 8.(4-V7)/3
Et donc: h = y0 = 8.(-7+4V7)/9 = env. 3,18489
Mais il m'a fallu plus d'une minute.

ça doit faire quelque chose comme 8rac7/(rac7+4)

En 1 mn, c'est très bien. Il m'a tout de même fallu refaire le dessin et poser l'équation. En principe, accessible aux 1ères, voire secondes.

Après coup, je me suis souvenu que dans ce problème, l'inverse de la hauteur du croisement est égale à la somme des inverses des hauteurs des hauts des 2 échelles (8 et 2rac7 ici).

Dans la figure ci-dessus on a Pythagore qui nous donne [latex]AB = 8[/latex]  et [latex]CD = 2\sqrt3[/latex]

C' et D' sont respectivement les symétriques de C et D par rapport à E.
Les triangles EC'D' et ECD sont donc isométriques.

Soit h' la hauteur du triangle EAB passant par E et h'' la hauteur du triangle EDC qui passe par E.

Alors on a d'une part : [latex]h' + h" = 6[/latex]  (1).

D'autre part on a :
Aire(ABC) - Aire(BCD) = Aire(EAB) - Aire(ECD) = Aire(EAB) - Aire(EC'D') = Aire(C'D'AB). Autrement dit on a :
[TeX]24 - 6\sqrt3 = (h' - h")(4 +\sqrt3) \Leftrightarrow h' - h" = {{6(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]   (2).

(1) et (2) donnent :

[latex]h' = 3 +{{3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]   et

[latex]h" = 3 -{{3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/TeX]
On a donc :

Aire(EAB) = h' * AB /2 = 4h' = [latex]12 +{{12(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]

et Aire (ECD) = h" * CD /2 = [latex]{\sqrt 3}h" = 3\sqrt 3 -{{3\sqrt 3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}[/latex]

Ainsi on a Aire(ABC) + Aire(BCD) = Aire(EAB) + Aire(ECD) + 2 * Aire(EBC).
et donc 6h = 2 * Aire(EBC) = Aire(ABC) + Aire(BCD) - Aire(EAB) - Aire(ECD)

On obtient donc :
[TeX]
h = {1\over 6}(24 + 6\sqrt 3 - (12 +{{12(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}) - (3\sqrt 3 -{{3\sqrt 3(4-\sqrt 3)}\over{4+\sqrt 3}}))[/TeX]
Ce qui fait si je ne me suis pas trompé dans mes calculs :
[TeX]h = {{32\sqrt3 - 24}\over 13} \simeq2,417[/TeX]
P.S : Il doit sûrement y avoir plus astucieux pour trouver le résultat car la valeur de h trouvée est (AB * CD)/(AB + CD).

EDIT : Oui, il y a légèrement plus simple, avec Thalès on a directement h = AB * h"/6, qui donne le même résultat .

EDIT2 : Pourquoi faire simple quand on peut faire compliquer ! 
Si on utilise Thalès dans le triangle ABC on obtient  h"/6 = h/AB = h/8.
Si on utilise Thalès dans le triangle BCD on obtient  h"/6 = DE/BD = DE/8.
Donc DE = h.
Et maintenant si on utilise Thalès dans le quadrilatère papillon ABDC on obtient
CD/AB = DE/BE, autrement dit  [latex]{{\sqrt 3}\over 4} = {h\over{8-h}}[/latex].

Deux équations du second degré:
[TeX]y = x * \sqrt 28  / 6[/TeX]
[TeX]y = (6 - x) * 8 / 6[/TeX][TeX]x * \sqrt 28  / 6 = (6 - x) * 8 / 6[/TeX][TeX]x * \sqrt 28  / 6 = 8 - ( 8 x / 6 ) [/TeX][TeX]x * \sqrt 28  = 48 - 8 x [/TeX][TeX](8 + \sqrt 28) x  = 48 [/TeX][TeX]x = 48 / (8 + \sqrt 28) [/TeX][TeX]y = ( 48 / (8 + \sqrt 28) ) * \sqrt 28  / 6 [/TeX][TeX]y = ( 8 * \sqrt 28 )  /  (8 + \sqrt 28) [/TeX][TeX]y = 3.184893550...[/TeX]
On peut certainement faire plus clair, mais c'est vendredi soir ...

Moins d'une minute, chapeau !
C'est à peu près le temps qu'il m'a fallu pour trouver la stratégie de résolution.
Mais j'ai eu encore besoin de quelques minutes supplémentaires pour poser l'équation, trouver une calculette et obtenir le résultat .

Après avoir calculé les 2 hauteurs des triangles rectangles 8 et 2 rac(7), on obtient l'équation :

                          x  /(2 * rac (7)) = (8 - x) / 8
d'où                                x = 3.18489

Pas très forts ces américains ...

Allons-y alors pour voir si on fait mieux que les américains.

Besoin de rajouter quelques noms sur le dessin histoire de simplifier la lecture des calculs.



On calcule e facilement avec Pythagore : e=2*rac(7)

Ensuite, Thalès nous permet d'exprimer c et d en fonction de h :
c=8*h/e ; d=10*h/8

Et encore Pythagore pour calculer a et b :
a=rac(c²-h²) ; b=rac(d²-h²)

On finit avec a+b=6 et on remplace tout :
h=6 / [rac(8²/e² -1)+rac(10²/8² -1)]

Et hop : h=3.18489355

Validé par la case réponse !
L'honneur est sauf...

Soient D la taille du montant de droite et G la taille du montant de gauche.
D'après le théorème du Pythagore,on a les expressions suivantes:
[TeX]D²+6²=8²[/latex] et
[latex]G²+6²=10²[/TeX]
Donc, on a:
[TeX]D=2\sqrt7[/TeX]
et [latex]G=8[/latex]

Soient d la longueur de la partie située à droite du "croisement" et g la a longueur de la partie située à gauche du "croisement".

Donc on a: [latex]g+d=6[/latex]

D'après le théorème de Thalès, on a les relations suivantes:
[TeX]g/6=h/D[/TeX]
et
[TeX]d/6=h/G[/TeX]
Donc on a:
[TeX]h/D+h/G=1[/TeX]
D'où:
[TeX]h=(DG)/(D+G)[/TeX]
Soit [latex]h=(16\sqrt7)/(8+2\sqrt7)[/latex]

ou approximativement:
[TeX]h=3.18489[/TeX]

@fix33 : tu as la bonne réponse, la case réponse ne valide pas parce que tu utilises la virgule comme séparateur décimal au lieu du point. Mets ta réponse sous forme "X.Y" où Y est la partie décimale

Amusant comme variante du problème des échelles dans un couloir pour un retour de vacances.

La hauteur du point de contact à gauche vaut évidemment 8 et celle de droite [latex]\sqrt{28}[/latex].
Je travaille avec les surfaces des triangles: S1 est le triangle en haut à gauche, S2 en haut à droite et S3 celui du bas dont la hauteur est h.
[TeX]S2+S3=24[/TeX]
[TeX]S1+S3=3\sqrt{28}[/TeX]
[latex]S1=(\dfrac{\sqrt{28}}{8})^2.S2[/latex].

Une substitution directe donne [latex]S3=\dfrac{32\sqrt{7}-56}{3}[/latex].

Et comme S3=3h, on trouve le résultat final.
Confirmation de la case réponse: 3.18489.

On pourrait utiliser la virgule comme séparateur en France.

Merci pour cette énigme.

Hum..., oui en effet, 8² = 64 et pas 48 donc du coup, il faut remplacer mes racines de 3 par des racines de 7 ce sera mieux (sans doute une erreur de frappe, ... )

Ce problème me rappelle un problème similaire ou la longueur des barres étaient
2m et 3m, on savait que le point de croisement était à 1m du sol, et il fallait trouver la distance qui séparait les murs, et ça dans mes souvenirs c'était beaucoup moins trivial !