Bonjour

Vous êtes qui ?
Bienvenue sur le forum. Il s'agit d'un forum de jeux et d'énigmes, pas forcément de sujet de maths pour désœuvrés

Je suis un peu d'accord avec toi , on a un peu tendance à croire ici qu'une énigme c'est forcément un message abscon à décrypter

De là balancer une série d'équations fonctionnelles à résoudre

Tu en prends une , tu lui mets sa belle tenue des dimanches et on en reparle

Vasimolo

Vasimolo a écrit:

on a un peu tendance à croire ici qu'une énigme c'est forcément un message abscon à décrypter
Vasimolo

On ne sera jamais d'accord sur ce point-là... Le site est de P2T est ouvert à tout type de sujets y compris ces équations mais ce ne sont pas des énigmes, ce sont des problémes, sûrement intéressants et qui demandent de la réflexion mais , pour me répéter, ils n'ont rien d'une énigme.

énigme /e.niɡm/ féminin
Jeu d’esprit mettant à l’épreuve la réflexion de l’interlocuteur qui doit répondre à une interrogation dont le sens est caché

problème /pʁɔ.blɛm/ masculin
Question scientifique à résoudre.
Problème de géométrie.
Problème d’algèbre.

Il faudrait voir à arreter de dénigrer bêtement ce qui ne te convient pas, ça devient lassant ce refrain et parfois limite insultant, même à "on" couverts...

des énigmes, des jeux, de la réflexion, pour tous ceux qui aiment se prendre la tête !

Le bandeau d'accueil est plus tolérant, du moment qu'on réfléchit, et je ne trouve pas que les maths aient le drapeau en berne ces temps-ci.

Si je puis me permettre, je rejoins tout à fait l'avis de Gwen :
Ici, il s'agit de purs problèmes scolaires. Tant qu'on y est, on pourrait poser aussi des problèmes de physique, de chimie, ... et puis allons-y jusqu'au bout, des problèmes de philosophie...
Et puis je pourrais aussi vous poser mes problèmes de boulot. Ca m'éviterait d'avoir à les résoudre !

Et j'aime bien la phrase de Vasimolo :

Vasimolo a écrit:

Tu en prends une , tu lui mets sa belle tenue des dimanches et on en reparle

Si j'interprète correctement, c'est une façon d'habiller un problème en énigme .

Klim.

mes problèmes sont tout à fait accessible du moment que vous savez ce qu'est une fonction ! ( et bien sur il faut de la logique ! )
j'ai tenu part de vos remarque et j'en ai laissé qu'une !

Pour la troisième n'importe quelle fonction involutive conviens, donc il doit surement manquer certaines conditons.

Pour la première si on remplace pour [latex]y=0[/latex] on obtient
[TeX]f(x+f(0))={1\over x}[/latex] ce qui est équivalent à [latex]f(x) = {1\over{x-f(0)}}[/TeX]
En particulier cela donne [latex]f(0)={-1\over{f(0)}}[/latex] autrement dit  [latex]f(0) = \pm i[/latex].

Donc il n'existe pas de fonction de R dans R vérifiant la première équation.

Pour la deuxième avec la même méthode, on obtient [latex]f(x) = -f(x+a)f(a)[/latex] ce qui donne  [latex]f(a) = -f(2a)f(a)[/latex], la fonction constante égal à zéro ou la fonction constante égal à -1 font très bien l'affaire.

EDIT: Arff deux ont disparues. tant pis.

@lol37 : je pense que shadock plaisantait, l'expression [latex]{dx\over dy} + x(x+y) = x^3(x+y)^3[/latex] n'a pas de sens ( à part peut-être pour un physicien )

cogito, il y a une erreur dans ton raisonnement.

En effet,  [latex]f(x+f(y))=\frac{1}{x+y}[/latex] seulement si [latex]x+y \neq 0[/latex]

donc
[TeX]f(0) = -\frac{1}{f(0)}[/latex] seulement si [latex]f(0) \neq 0[/TeX]
Tu peux donc juste en déduire que [latex]f(0)=0[/latex]

Oui, c'est vrai. Alors je complète en disant que si f(0)=0 alors f(x)=1/x et cette fonction ne vérifie pas l'équation

Pour l'équation [latex]f(f(x))=x[/latex] :

Il y a beaucoup de possibilités :

En effet, il suffit de se donner une partition quelconque [latex]\mathbb{R} = A \sqcup B \sqcup C[/latex], une bijection quelconque [latex]g : A \rightarrow B[/latex] et de définir [latex]f[/latex] par :
[TeX]f(x) = g(x)[/latex]  si  [latex]x \in A[/TeX][TeX]f(x) = g^{-1}(x)[/latex]  si  [latex]x \in B[/TeX][TeX]f(x) = x[/latex]  si  [latex]x \in C[/TeX]
Si on impose en plus [latex]f[/latex] continue, là ça devient assez intéressant. Qui saurait trouver les solutions dans ce cas ?

titoufred a écrit:

Pour l'équation [latex]f(f(x))=x[/latex] :

Il y a beaucoup de possibilités :

En effet, il suffit de se donner une partition quelconque [latex]\mathbb{R} = A \sqcup B \sqcup C[/latex], une bijection quelconque [latex]g : A \rightarrow B[/latex] et de définir [latex]f[/latex] par :
[TeX]f(x) = g(x)[/latex]  si  [latex]x \in A[/TeX][TeX]f(x) = g^{-1}(x)[/latex]  si  [latex]x \in B[/TeX][TeX]f(x) = x[/latex]  si  [latex]x \in C[/TeX]
Si on impose en plus [latex]f[/latex] continue, là ça devient assez intéressant. Qui saurait trouver les solutions dans ce cas ?

il y a l'identité et les [latex]f(x) = a-x[/latex] avec a réel, je suis sur qu'il y en a d'autres
Edit : y'en a aussi avec des racines carrés, du style [latex]f(x)=x-2\sqrt{x}+1[/latex]

il se trouve qu'effectivement que la fonction n'est pas définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] mais est une involution sur [latex][0,1][/latex] alors bon, ok c'est pas [latex]\mathbb{R}[/latex] entier mais un sous ensemble notable

il suffit juste de voir que son graphe doit être symétrique par rapport à celui de y = x, je ne pense pas qu'il soit possible de les donner explicitement, ( elles doivent être indénombrables ), mais juste les caractériser
géométriquement tu prends un point de la droite qui découpe le premier quadrant du plan, à "droite" tu traces ce que tu veux du moment que ca "descend" tout le temps et que tu ne laches pas ton stylo, des que t'en as marre tu supposes que ton plan est un papier calque et tu le plies selon la droite pour avoir l'autre bout

Des fois dans ce genre d'équation il faut avoir l'esprit de synthèse et ne pas s'attendre à avoir une expression explicite.
Il reste celle que j'ai donné quelques posts avant, elle est facile si on conçoit que les solutions continues