sin(0)=0

Je crois que ça règle le problème.

lol37 a écrit:
le produit de chaque terme de la suite

C'est quoi le produit de chaque terme? ou je loupe quelque chose?

Cool

j'ai écrit une petite aide pour ceux qui ne savent pas par quoi commencer

"Il est évident que le produit des sin est < à la plus petite valeur, car tous les facteurs sont <1."

Est-ce si évident ? Simple question de novice.

Je ne sais pas comment s'en servir mais il y a néanmoins un résultat intéressant,

Si on pose [latex]Q_n=\prod_{k=1}^{n-1} \left(1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/latex]

Il est facile de montrer que (je peux vous mettre la démo si vous voulez) [latex]\prod_{k=1}^{n-1} sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}[/latex]

Donc peut-être qu'on peut se débrouiller pour montrer que le produit est inférieur à 1.
Mais ce n'est pas chose facile à mon sens...

Le dessous doit être la partie imaginaire de Qn ou quelquechose comme ça.

Pour le dessous j'ai dis que je pouvais mettre la démo si vous voulez.

Mais vous pouvez aussi la chercher vous en êtes capables

On pourrait essayer de faire la même chose avec des cosinus et essayer de trouver une expression de la dérivée du produit mais il y a des sommes qui apparaissent et c'est pas intéressant.

J'ai calculer [latex]\prod_{k=1}^{90} sin(k)=\frac{3\sqrt{5}}{2^{88.5}}[/latex] si ça peut aider quelqu'un

PS : Le calcul est monstrueux et le raisonnement hard ^^ Ca faisait une semaine que je cherchais
Une semaine c'est bien la réalité, puisque je m’entraîne pour les concours je ne pensais pas avoir une énigme de P2T là dessus ^^

Même Wolfram Alpha n'est pas capable de donner cette réponse exacte

k^0 fait 1 quelque soit k entre 1 et 90.
je pense qu'il a voulu simplifier sin(1)^90.

Un k^0 ressemble à ça [latex]k^0[/latex], ce qui est dans la formule de shadock est [latex]k°[/latex], je pense que le ° est une erreur de frappe.

En tous cas son calcul est très intéressant.

Dans le produit des [latex]U_n[/latex] il y a deux parties :
une partie qui est [latex]k^n[/latex] et une autre qui est un produit de sinus.

Il est clair que le produit de sinus est < 1 (car un sinus est compris entre -1 et 1).
Le problème est que [latex]k^n[/latex] tend vers [latex]+\infty[/latex] et que le produit des sinus tend vers 0. Le truc est de savoir qui l'emporte.

Au début je pensait que le k^n l'emportait largement, mais le calcul de shadock, fait apparaître une division par [latex]2^{88,5}[/latex] (pour 90 termes) donc finalement c'est le produit des sinus qui a plutôt l'air de l'emporter.

Autrement écrit le produit des [latex]U_n[/latex] aurait plutôt tendance à tendre vers 0.

Edit : je dis n'importe quoi, si par exemple k = 2 alors le [latex]2^{90}[/latex] compenserait le [latex]2^{88,5}[/latex] donc du coups peut-être que pour certaines valeurs de k < 2 le produit tend vers 0 et que pour un k > 2 le produit diverge ...