Bon allez, ça ne mange pas de pain finalement après quelque simplification visuelle la démonstration est rapide :



Au passage je démontre de manière inutile certes mais c'est toujours sympas tant qu'on y est que [latex]\prod_{k=1}^{89} tan(k)=1[/latex]

En effet on remarque que [latex]sin(k°)=cos(90°-k°)[/latex] donc [latex]\prod_{k=1}^{89} sin(k)=\prod_{k=1}^{89} cos(k)[/latex] d'où le résultat.



Bref dans la suite pour que personne ne soit dérangé par le symbole degré ° tous les angles seront en degré sans le symbole.

On a [latex]sinx*sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=sinx*cosx=\frac{1}{2}sin2x[/latex] et
[TeX]sinx*sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{4}sin3x[/TeX]
On en déduit que :
[TeX]sin(1)sin(89)=\frac{1}{2}sin(2)[/TeX]
[TeX]sin(2)sin(88)=\frac{1}{2}sin(4)[/TeX]
[TeX]\vdots[/TeX]
[TeX]sin(44)sin(46)=\frac{1}{2}sin(88)[/TeX]
On fait le produit avec [latex]sin(45)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]

On a [latex]p'=\frac{1}{2^{44}}\left(\prod_{k=1}^{44} sin(2k)\right)sin(45)=\frac{1}{2^{44.5}}\left(\prod_{k=1}^{44} sin(2k)\right)[/latex]



De même
[TeX]sin(2)sin(88)=\frac{1}{2}sin(4)[/TeX]
[TeX]\vdots[/TeX]
[TeX]sin(44)sin(46)=\frac{1}{2}sin(88)[/TeX]
Donc [latex]p'=\frac{1}{2^{66.5}}\left(\prod_{k=1}^{22} sin(4k)\right)[/latex]

La liste des angles de cette dernière expression est (4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88)

On fait un tableau, (je ne sais pas les faire avec les codes, si un modo c'est faire je lui en serait très reconnaissant car ce serait alors bien mieux présentable )

x    60-x     60+x    | 3x
4     56        64       |12
8     52        68       |24
12   48        72       |36
16   44        76       |48
20   40        80       |60
24   36        84       |72
28   32        88       |84


D'où [latex]p'=\frac{1}{2^{80.5}}\left(\prod_{k=1}^{7} sin(12k)\right)sin(60)[/latex]

x    60-x     60+x    |3x
12   48        72       |36
24   36        84       |72


Donc [latex]p'=\frac{1}{2^{84.5}}sin(36)sin(72)sin(60)=\frac{3}{2^{86.5}}sin(36)sin(72)[/latex]

De plus [latex]sin\left(\frac{\pi}{5}\right)sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5}}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{4}[/latex]


D'où le résultat : [latex]\prod_{k=1}^{90} sin(k)=\frac{3\sqrt{5}}{2^{88.5}}[/latex]

Ce qui achève la démonstration.


Shadock

Merci, mais ça n'a rien d’extraordinaire avec le recul le plus dur c'est de ce dire qu'on peut exprimer ce produit à partir de relations "simples" entre les angles et leurs multiples de 2 et de 3, à une constante près.

Maintenant j'aimerai bien que lol37 poste la solution de son énigme parce que ça m’intéresse !

Oui c'est vrai, je ne l'avais même pas remarqué avec la notation. C'est assez "piégeux (orth ???)" même quand on sait s'en servir finalement.

Depuis le temps qu'ils cherchent ça m'étonnerai... ou rajoute des indices parce que c'est chaud ton truc...

C'est reparti les mecs (et les filles aussi hein )