On a  $\mathrm{argsh}(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

de sorte que
$$\int_0^x\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{\,x\sqrt{1+x^2}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})\,}{2}$$
d'où
$$\int_0^1\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{\,\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\,}{2}$$

Rectifié !
En fait je l'avais vu mais j'ai eu la flemme de corriger...