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#1 - 07-11-2013 12:07:42
- kossi_tg
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Anniversaire dans les galaies lointaines
Dans une galaxie lointaine vivent des êtres qui adorent offrir des cadeaux selon le protocole suivant:
Au [latex]1^er[/latex] anniversaire de Kiwou, habitant de cette galaxie, il a reçu un cadeau de type 1, [latex]2^e[/latex] anniversaire: 2 cadeaux de type 2 et 1 cadeau de type 1 (dans cet ordre), [latex]3^e[/latex] anniversaire: 3 cadeaux de type 3, 2 cadeaux de type 2 et 1 cadeau de type 1 (dans cet ordre), ... ... [latex]n^e[/latex] anniversaire: n cadeaux de type n, n-1 cadeaux de type n-1,...,2 cadeaux de type 2 et 1 cadeau de type 1 (dans cet ordre).
kiwou se pose des questions sur ses [latex]10^e[/latex], [latex]100^e[/latex] ou même [latex]1000^e[/latex] anniversaire ou encore un anniversaire quelconque n.
1-) Quel est le nombre de cadeaux qu'il recevra à son [latex]n^e[/latex] anniv?
2-) Après le [latex]n^e[/latex] anniv, quel sera le nombre total de cadeaux d'anniv qu'il aura reçu depuis sa naissance?
Et cette dernière question, objet même de cette énigme:
3-) Quelle est la nature du [latex]k^e[/latex] cadeau d'anniv? La case réponse valide la nature du milliardième cadeau (seul l'entier naturel correspondant est demandé).
Bon amusement ![smile](img/smilies/smile.png)
#2 - 07-11-2013 13:26:20
- SabanSuresh
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anniversaire dans les gakaxies lointaines
1) A son n-ième anniversaire, il recevra n(n+1)/2 cadeaux, c-à-d, le n-ième terme de la suite des nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, ... 2) A son n-ième anniversaire, il aura reçu n(n+1)(n+2)/6 cadeaux depuis sa naissance, c-à-d, le n-ième de la suite des nombres tétraédriques ou pyramidaux triangulaires : 1, 4, 10, 20, 35 ... 3) Je cherche mais ça parait long ...
#3 - 07-11-2013 13:48:40
- kossi_tg
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anniversaire dans mes galaxies lointaines
Bonne réponse de SabanSuresh pour les questions 1 et 2, bravo ![smile](img/smilies/smile.png) La 3è est à venir!
#4 - 07-11-2013 14:23:27
- titoufred
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Anniversarie dans les galaxies lointaines
1) [latex]\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]
2) [latex]\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac12\times\sum_{k=1}^n k + \frac12\times\sum_{k=1}^n k^2[/latex] [TeX]= \frac12\times\frac{n(n+1)}{2} + \frac12\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/TeX] 3) On résout [latex]\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \geq 1 000 000 000[/latex] et l'on trouve [latex]n > 1816[/latex]
Son milliardième cadeau est donc reçu lors de son 1817ème anniversaire. Lors des 1816 premiers, il a reçu 999 800 616 cadeaux, donc il s'agit de déterminer le type du 199 384ème cadeau reçu lors de son 1817ème anniversaire.
Lors de ce 1817ème anniversaire, il recevra 1 651 653 cadeaux, donc 1 452 269 après le milliardième de sa vie. On cherche donc le premier n tel que [latex]\frac{n(n+1)}{2} > 1 452 269[/latex] et l'on trouve n = 1 704.
Par conséquent, le type de son milliardième cadeau reçu est 1 704.
#5 - 07-11-2013 14:42:27
- kossi_tg
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Anniversaire dans les gallaxies lointaines
Bravo à titoufred qui a trouvé les 2 premières bonnes réponses et l'application particulière de la 3è question, le cas du milliardième cadeau ![smile](img/smilies/smile.png) Quelle formule pour le cas général de k Il doit s'agit d'une fonction mathématique qui prend k à l'entrée et sort le type de cadeau, qu'elle soit dans une seule formule ou en plusieurs étapes ![hmm](img/smilies/hmm.png)
#6 - 07-11-2013 15:18:02
- titoufred
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Anniversaire dans les galaxies lintaines
Je ne vois pas très bien l'intérêt d'une généralisation pour k quelconque.
Tu veux que je te sorte le discriminant pour la résolution de l'équation du troisième degré ?
#7 - 07-11-2013 16:52:54
- kossi_tg
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anniversaire dans les galaxies mointaines
titoufred a écit:
Je ne vois pas très bien l'intérêt d'une généralisation pour k quelconque. Tu veux que je te sorte le discriminant pour la résolution de l'équation du troisième degré ?
Je ne demande rien moi , je veux juste la formule généralisée. S'il te faut cette résolution pour y arriver dans ce cas c'est ta méthode qui le demande et pas moi mais de mon coté je n'ai pas eu besoin de ce genre de résolution pour la solution ![tongue](img/smilies/tongue.png)
Sinon, l'intérêt est d'éviter de recommencer la résolution à chaque fois (comme tout es les formules généralisées ). Et le [latex]10^{30^{ieme}}[/latex] cadeau, tu me trouves son type en reprenant les calculs? 30 chiffres à écrire à chaque fois! Non, on peut faire plus rapidement ![smile](img/smilies/smile.png)
#8 - 07-11-2013 23:54:40
- shadock
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anniversaire dans les gakaxies lointaines
Question 1 :
A son [latex]n^{ième}[/latex] anniversaire il recevra : [TeX]N=\sum_{k=1}^{n} k =\frac{n(n+1)}{2}[/TeX] cadeaux, en effet, en remarquant que [TeX]\int_{a}^{a+1} x dx = a+\frac{1}{2}[/TeX] Ainsi on a : [TeX]\int_{0}^{n+1} x dx=\sum_{a=0}^{n} \left(a+\frac{1}{2}\right)=\frac{(n+1)^2}{2}[/TeX] D'où le résultat, en développant puis factorisant.
Question 2 :
Le nombre de cadeaux total, est la sommes des cadeaux qu'il a reçu toutes les années précédentes plus cette année, soit p années : [TeX]N=\sum_{n=1}^p \sum_{k=1}^{n} k=\frac{p(p+1)(p+2)}{6}[/TeX] Question 3 : Je ne comprends si tu veux le k-ième cadeaux de la n-ième année ou si tu veux le k-ième cadeaux du total de tous les cadeaux reçu depuis n années.
Shadock ![smile](img/smilies/smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#9 - 08-11-2013 05:49:09
- Franky1103
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anniversaiee dans les galaxies lointaines
1-) n.(n+1)/2: facile 2-) n.(n+1).(n+2)/6: pas trop dur 3-) n.(n+1).(n+2)/6 < k < (n+1).(n+2).(n+3)/6 => n³+3n²+2n < 6k < n³+6n²+11n+6 Le 3è degré me bloque: affaire à suivre ...
#10 - 08-11-2013 08:59:04
- kossi_tg
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anniversaire dans les galaxies lointaineq
Bien trouvé Franky et shadock pour les questions 1 et 2. A suivre pour la question 3.
Réponse à shadock qui demandait: Je ne comprends si tu veux le k-ième cadeaux de la n-ième année ou si tu veux le k-ième cadeaux du total de tous les cadeaux reçu depuis n années.
Je veux la nature du k-ième cadeau reçu depuis sa naissance. Si k=8 par exemple, la réponse est 2 (4 kdo pendant les 2 premiers anniv, et pendant la 3è, il reçoit d'abord 3 kdo (ca fait 7 au total) et le 8è kdo est de nature 2 d'où la réponse 2).
#11 - 08-11-2013 12:00:16
- SabanSuresh
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znniversaire dans les galaxies lointaines
Si k=8, c'est pas 3 ? 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 3 Le 8-ième élément est le premier 3.
Ou alors je comprends pas la question.
#12 - 08-11-2013 14:29:05
- kossi_tg
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Anniversiare dans les galaxies lointaines
@ SabanSuresh: le 8è kdo est de type 2
Explication: [TeX]\underbrace{1}[/latex] [latex]\underbrace{2-1}[/latex] [latex]\underbrace{3-2-1}[/latex] [latex]\underbrace{4-3-2-1} ...[/TeX] (l'ordre des kdo pour les 4 premiers anniv)
En faisant la somme de gauche vers la droite, tu atteins 8 sur un '2' qui est le type du 8è kdo ![smile](img/smilies/smile.png)
#13 - 08-11-2013 15:47:34
- MthS-MlndN
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anniversaire dans les galaxies lointained
Quelques formules de somme plus tard : [latex]\frac{n(n+1)}{2}[/latex] cadeaux au [latex]n[/latex]-ième anniversaire, [latex]\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/latex] cadeaux reçus au total après les [latex]n[/latex] premières années.
La troisième est plus tordue. Je pense qu'il faut d'abord chercher l'année d'obtention. On veut donc [latex]N[/latex] tel que [TeX]N(N+1)(N+2) < 6k \leq (N+1)(N+2)(N+3)[/TeX] afin de savoir que le cadeau numéro [latex]k[/latex] a été reçue en l'an [latex]N+1[/latex]. Une première étape corsée, après laquelle tout va mieux. L'exploration systématique des N en ordre croissant n'étant pas une bonne idée, on peut trouver une borne inférieure en calculant la racine troisième de [latex]6k[/latex].
Pour la case réponse :
[latex]\sqrt[3]{6 \times 10^9}[/latex] vaut 1817 et des brouettes. On entame donc en vérifiant que [latex]1816 \times 1817 \times 1818[/latex] est inférieur à 6 milliards, et [latex]1817 \times 1818 \times 1819[/latex] est supérieur à six milliards.
[latex]\times 10^9 - \frac{1816 \times 1817 \times 1818}{6} = 199384[/latex] donc le milliardième cadeau est en fait le 199384me cadeau de la 1817me année.
A partir de là, tout va mieux. 1817+1816+...+m dépasse tout juste 199384 quand m vaut la valeur recherchée, et pouf, 1704 !
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#14 - 08-11-2013 19:11:59
- kossi_tg
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Anniversaire dans les ggalaxies lointaines
Bravo à Mathias qui rejoint titoufred avec la réponse particulière du milliardième cadeau avec un pas important vers la formule généralisée dans sa méthode.
Pour ceux qui se brisent les dents sur une équation de 3è degré, je propose de faire cette remarque qui peut beaucoup aider: pour tout [latex]N[/latex] naturel non nul, on a: [TeX]N(N^2-1)<N^3<N(N+1)(N+2)[/TeX]
#15 - 08-11-2013 19:58:14
- gwen27
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annuversaire dans les galaxies lointaines
1) c'est la somme des i pour i=1 à n soit n(n+1)/2
2) c'est la somme des i pour k=1 à n des sommes pour i=1 à k (je sais c'est joli le latex mais ça ne me branche pas)
soit la somme pour i= 1 à n des i(i+1)/2 = 1/6(n)(n+1)(n+2)
3) pour le type du kiéme :
On cherche n te l que 1/6(n)(n+1)(n+2) soit juste supérieur à k On cherche m tel que 1/6(n)(n+1)(n+2) -m(m+1)/2 soit juste inférieur à k
Le cadeau est de type m
Le milliardième arrivera donc au cours de son 1817è anniversaire et sera de type 1704
Spoiler : [Afficher le message] Edit : ça marche pour 10^30 18171205928e anniversaire , cadeau de type 14968964875 merci wolfram, excell ne donne que 15 chiffres.
#16 - 08-11-2013 22:11:10
- kossi_tg
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Anniversaire daans les galaxies lointaines
OUI gwen27 pour les questions 1 et 2 et l'application particulière de la question 3 avec une méthode qui est à 2 pas de trouver la formule généralisée ![smile](img/smilies/smile.png)
#17 - 08-11-2013 23:07:19
- titoufred
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Aniversaire dans les galaxies lointaines
Tiens, il m'est venu une façon rigolote de calculer la somme pour la question 2 :
Choisir 3 nombres parmi les entiers compris entre 1 et n+2 revient à d'abord choisir le max entre 3 et n+2 puis les 2 autres entre 1 et le max-1 donc [TeX]{n+2 \choose 3} = \sum_{max=3}^{n+2}{max-1 \choose 2} = \sum_{k=1}^{n}{k+1 \choose 2}[/TeX] Et donc [latex]\frac{(n+2)(n+1)n}{6} = \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)}{2}[/latex]
#18 - 08-11-2013 23:42:52
- gwen27
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anniverdaire dans les galaxies lointaines
Est-ce que je m'approche si je dis que pour k suffisamment grand
n est la partie entière de racine cubique (6k)
Même raisonnement pour m avec une racine carrée et une étape de calcul ?
#19 - 08-11-2013 23:52:18
- kossi_tg
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Anniversaire dans les aglaxies lointaines
@gwen27: Oui à la question de gwen7, et cette remarque est valable pour tout k (pas seulement les grands), n étant l'anniversaire durant lequel le k-ième kdo est reçu.
@gwen27: Pour le calcul à [latex]k=10^{30}[/latex], l'anniv est bien trouvé mais, le type de kdo non, l'erreur est de quelques milliers sur près de 15 milliards; bon boulot quand même ![cool](img/smilies/cool.png)
#20 - 09-11-2013 00:08:35
- gwen27
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anniversairz dans les galaxies lointaines
OK alors k-n(n+1)n+2)/6 = m(m+1)/2 me donne :
m est la partie entière de la racine de 2k-n(n+1)(n+2)/3
Du coup, pour 10^30 : cadeau de type 14968953289 J'hésite sur le +1 ( saletés d'arrondis des tableurs ! mais je ne pense pas...14968953290)
#21 - 09-11-2013 00:24:36
- kossi_tg
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Anniversaire dans les galaxies lointainse
@gwen27: je pense qu'au delà de 10^20, les tableurs ont du mal à calculer et on peut les comprendre ![lol](img/smilies/lol.png)
Avec deux méthodes différentes, je trouve la même réponse jusqu'à 10^24 puis excel n'arrive plus à prendre en compte certaines unités, ce qui fausse les résultats numériques.
Pour tester ta méthode qui est la bonne, utilise 10^20 ![hmm](img/smilies/hmm.png)
#22 - 09-11-2013 00:30:33
- gwen27
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anniversaire dans les galaxues lointaines
Bon alors : pour déterminer a (l'anniversaire), la racine cubique fonctionne. Pour déterminer c (le type de cadeau) , la racine carrée ne fonctionne que si a n'est pas un cadeau de type 1.
![http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-kiemecadeau.png](http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-kiemecadeau.png) galère... pourtant il ne doit pas me manquer grand chose. il faut que c(c+1)/2 soit plus grand a(a+1)(a+2)/6 -k
Pour la seconde étape, cette formule semble mieux convenir :
![http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-kiemebis.PNG](http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-kiemebis.PNG)
#23 - 09-11-2013 10:58:47
- kossi_tg
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Anniversaie dans les galaxies lointaines
Excellente réponse de gwen27, notamment pour la question 3! Bah voilà! Bravo ![smile](img/smilies/smile.png)
#24 - 09-11-2013 12:25:39
- gwen27
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annoversaire dans les galaxies lointaines
La suite des approximations par des racines cubique n'est pas trop mal mais elle comporte des erreurs en fait qui correspondent au rajouts des n(n+1)/2:
1 0 2 1 1 5 3 2 11 6 3 21 10 4 36 15 5 57 21 6 85 28 7 121 36 8 166 45 9 221 55 10 287 66 11 365 78 12 456 91 13 561 105 14 681 120 15 817 136 16 970 153 17 1141 171 18 1331 190 19 1541 210 20 1772 231 21 2025 253 22 2301 276 23 2601 300 24
Sur tableur, j'ai corrigé cette coquille en rajoutant l'année moins 6 à partir de la sixième année. Mais du coup, ça reste une approximation...
A partir de chaque k=n(n+1)(n+2)/6, il faut rajouter (n-6) dans la racine pour conserver l'approximation.
La meilleure solution m'a donc l'air de rester la dichotomie avec une excellente approximation en première approche.
#25 - 09-11-2013 21:37:00
- Franky1103
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Anniversaire dans les galaxies llointaines
Les parties 1 et 2 étant résolues dans un post précédent; voici ma solution pour la 3. Je cherche d’abord le nombre total n0 (resp. n1) de chiffres 1 rencontrés avant (resp. après) le k-ième cadeau: pour cela, je dois résoudre une inéquation du 3è degré: n0.(n0+1).(n0+2) / 6 < k <= n1.(n1+1).(n1+2) / 6, avec n1 = n0 + 1 soit: n0³ + 3n0² + 2n0 - 6k < 0 <= n1³ + 3n1² + 2n1 - 6k, avec n1 = n0 + 1 J’applique la méthode de Cardan, non détaillée ici, et je trouve: n0 = ent {[3.k + (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) + [3.k - (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) – 1} et n1 = ent {[3.k + (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) + [3.k - (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3)} où (ent) représente la partie entière. Puis je calcule k1 correspondant à ce n1-ième chiffre 1 (on aura bien sûr k1 >= k): k1 = n1.(n1+1).(n1+2) / 6, et je détermine l’écart: e = k1 – k (qui est >= 0) Je vais maintenant ''remonter'' depuis ce nombre k1 de e nombres et trouver la nature x du k-ième cadeau d’anniversaire avec: x = ent {(1/2) + [2.e + (1/4)]^0,5} Et voilà.
Application numérique avec k = 10^9: Dans ce cas, 1/27 est négligeable devant 10^9, et on peut approximer: n1 = ent {(6.k)^(1/3)}, soit: n1 = ent {6^(1/3).(10^3)} = 1 817 d’où: e = k1 – k = 1 452 269 De même, pour calculer x, 1/4 est négligeable devant e, et on trouve finalement: x = 1704, validé par la case-réponse.
Il faudrait vraiment que j'apprenne enfin à écrire avec latex pour que mes formules soient plus lisibles: désolé.
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