Bonne réponse de SabanSuresh pour les questions 1 et 2, bravo
La 3è est à venir!

Bravo à titoufred qui a trouvé les 2 premières bonnes réponses et l'application particulière de la 3è question, le cas du milliardième cadeau
Quelle formule pour le cas général de k
Il doit s'agit d'une fonction mathématique qui prend k à l'entrée et sort le type de cadeau, qu'elle soit dans une seule formule ou en plusieurs étapes

titoufred a écit:

Je ne vois pas très bien l'intérêt d'une généralisation pour k quelconque.
Tu veux que je te sorte le discriminant pour la résolution de l'équation du troisième degré ?

Je ne demande rien moi , je veux juste la formule généralisée. S'il te faut cette résolution pour y arriver dans ce cas c'est ta méthode qui le demande et pas moi mais de mon coté je n'ai pas eu besoin de ce genre de résolution pour la solution

Sinon, l'intérêt est d'éviter de recommencer la résolution à chaque fois (comme tout es les formules généralisées ). Et le [latex]10^{30^{ieme}}[/latex] cadeau, tu me trouves son type en reprenant les calculs? 30 chiffres à écrire à chaque fois! Non, on peut faire plus rapidement

1-) n.(n+1)/2: facile
2-) n.(n+1).(n+2)/6: pas trop dur
3-) n.(n+1).(n+2)/6 < k < (n+1).(n+2).(n+3)/6
=> n³+3n²+2n < 6k < n³+6n²+11n+6
Le 3è degré me bloque: affaire à suivre ...

Si k=8, c'est pas 3 ?
1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 3
Le 8-ième élément est le premier 3.

Ou alors je comprends pas la question.

Quelques formules de somme plus tard : [latex]\frac{n(n+1)}{2}[/latex] cadeaux au [latex]n[/latex]-ième anniversaire, [latex]\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/latex] cadeaux reçus au total après les [latex]n[/latex] premières années.



La troisième est plus tordue. Je pense qu'il faut d'abord chercher l'année d'obtention. On veut donc [latex]N[/latex] tel que
[TeX]N(N+1)(N+2) < 6k \leq (N+1)(N+2)(N+3)[/TeX]
afin de savoir que le cadeau numéro [latex]k[/latex] a été reçue en l'an [latex]N+1[/latex]. Une première étape corsée, après laquelle tout va mieux. L'exploration systématique des N en ordre croissant n'étant pas une bonne idée, on peut trouver une borne inférieure en calculant la racine troisième de [latex]6k[/latex].



Pour la case réponse :

[latex]\sqrt[3]{6 \times 10^9}[/latex] vaut 1817 et des brouettes. On entame donc en vérifiant que [latex]1816 \times 1817 \times 1818[/latex] est inférieur à 6 milliards, et [latex]1817 \times 1818 \times 1819[/latex] est supérieur à six milliards.

[latex]\times 10^9 - \frac{1816 \times 1817 \times 1818}{6} = 199384[/latex] donc le milliardième cadeau est en fait le 199384me cadeau de la 1817me année.

A partir de là, tout va mieux. 1817+1816+...+m dépasse tout juste 199384 quand m vaut la valeur recherchée, et pouf, 1704 !

1) c'est la somme des i pour i=1 à n soit n(n+1)/2

2) c'est la somme des i pour k=1 à n des sommes pour i=1 à k (je sais c'est joli le latex mais ça ne me branche pas)

soit la somme pour i= 1 à n des i(i+1)/2 = 1/6(n)(n+1)(n+2)

3) pour le type du kiéme :

On cherche n te l que 1/6(n)(n+1)(n+2) soit juste supérieur à k
On cherche m tel que 1/6(n)(n+1)(n+2) -m(m+1)/2  soit juste inférieur à k

Le cadeau est de type m

Le milliardième arrivera donc au cours de son 1817è anniversaire et sera de type  1704

Spoiler : [Afficher le message] Edit : ça marche pour 10^30   18171205928e anniversaire , cadeau de type 14968964875 merci wolfram, excell ne donne que 15 chiffres.

Tiens, il m'est venu une façon rigolote de calculer la somme pour la question 2 :

Choisir 3 nombres parmi les entiers compris entre 1 et n+2 revient à d'abord choisir le max entre 3 et n+2 puis les 2 autres entre 1 et le max-1 donc
[TeX]{n+2 \choose 3} = \sum_{max=3}^{n+2}{max-1 \choose 2} = \sum_{k=1}^{n}{k+1 \choose 2}[/TeX]
Et donc  [latex]\frac{(n+2)(n+1)n}{6} = \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)}{2}[/latex]

@gwen27: Oui à la question de gwen7, et cette remarque est valable pour tout k (pas seulement les grands), n étant l'anniversaire durant lequel le k-ième kdo est reçu.

@gwen27: Pour le calcul à [latex]k=10^{30}[/latex], l'anniv est bien trouvé mais, le type de kdo non, l'erreur est de quelques milliers sur près de 15 milliards; bon boulot quand même

@gwen27: je pense qu'au delà de 10^20, les tableurs ont du mal à calculer et on peut les comprendre

Avec deux méthodes différentes, je trouve la même réponse jusqu'à 10^24 puis excel n'arrive plus à prendre en compte certaines unités, ce qui fausse les résultats numériques.

Pour tester ta méthode qui est la bonne, utilise 10^20

Excellente réponse de gwen27, notamment pour la question 3! Bah voilà! Bravo

Les parties 1 et 2 étant résolues dans un post précédent; voici ma solution pour la 3.
Je cherche d’abord le nombre total n0 (resp. n1) de chiffres 1 rencontrés avant (resp. après) le k-ième cadeau: pour cela, je dois résoudre une inéquation du 3è degré:
n0.(n0+1).(n0+2) / 6 < k <= n1.(n1+1).(n1+2) / 6, avec n1 = n0 + 1
soit: n0³ + 3n0² + 2n0 - 6k < 0 <= n1³ + 3n1² + 2n1 - 6k, avec n1 = n0 + 1
J’applique la méthode de Cardan, non détaillée ici, et je trouve:
n0 = ent {[3.k + (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) + [3.k - (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) – 1}
et n1 = ent {[3.k + (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) + [3.k - (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3)}
où (ent) représente la partie entière.
Puis je calcule k1 correspondant à ce n1-ième chiffre 1 (on aura bien sûr k1 >= k):
k1 = n1.(n1+1).(n1+2) / 6, et je détermine l’écart: e = k1 – k (qui est >= 0)
Je vais maintenant ''remonter'' depuis ce nombre k1 de e nombres et trouver la nature x du k-ième cadeau d’anniversaire avec: x = ent {(1/2) + [2.e + (1/4)]^0,5}
Et voilà.

Application numérique avec k = 10^9:
Dans ce cas, 1/27 est négligeable devant 10^9, et on peut approximer:
n1 = ent {(6.k)^(1/3)}, soit: n1 = ent {6^(1/3).(10^3)} = 1 817
d’où: e = k1 – k = 1 452 269
De même, pour calculer x, 1/4 est négligeable devant e, et on trouve finalement:
x = 1704, validé par la case-réponse.

Il faudrait vraiment que j'apprenne enfin à écrire avec latex pour que mes formules soient plus lisibles: désolé.