Je prendrais la base N ce qui élimine tout risque de nombre plus grand.

En base 2 on a effectivement moins de chiffres qu'en base 10, mais le nombre final s'écrit aussi avec plus de chiffres. A mon avis, la base ne change rien.
Maintenant si on veut un nombre plus petit qu'une borne N, on a intérêt à ce que cette borne soit immédiatement inférieure ou égale à: B^n - 1 (par exemple 99999 en base 10) et je choisirai la base B en conséquence.

La base (=l'écriture) d'un nombre n'a pas d'influence sur sa probabilité d'apparition.

Donc tirer chiffre par chiffre un nombre compris entre 0 et 15 en base 2, en base 4 ou en base 16 se fait toujours avec une probabilité d'un chance sur 16.
En base 2 : 4 chiffres à 1 chance sur 2
En base 4 : 2 chiffres à 1 chance sur 4
En base 16 : 1 chiffres à 1 chance sur 16.

Cependant, la méthode de tirage proposée par Cogito n'est équiprobable entre 0 et N que si N+1 est une puissance de la base (c'est-à-dire N+1 s'écrit 100...00).
Autrement, tous les tirages ne sont pas possibles et donc la méthode (et donc la base) a une influence

Tirer en base 10 en nombre entre 0 et 24 peut par exemple conduire à des probas différentes suivant la méthode :
+ Si on tire le chiffre des dizaines en premier (entre 0 et 2) puis le chiffre des unités (dans l'intervalle possible), la probabilité d'apparition de 0 à 19 est de 1/30 celle de 20 à 24 est de 1/15
+ Si on tire le chiffre des unités en premier (entre 0 et 9) puis le chiffre des dizaines (entre 0 et 2) en recommençant les dizaines si le nombre est supérieur à 24, alors la probabilité de 0 à 4, 10 à 14 et 20 à 24 est de 1/30  et la probabilité de 5 à 9 ou 15 à 19 est de 1/15.
+ La seule méthode équiprobable est de recommencer intégralement le tirage si on tombe sur un nombre supérieur à N. Mais cette méthode à l'inconvénient de devoir faire en moyenne jusqu'à B tirages pour en avoir un valide en base B.

Si c'est le même nombre n dans un intervalle d'entiers [0;N] exprimé en base 10 ou en base x, la probabilité de le retrouver reste en base 10: [latex]\frac{1}{N+1}[/latex]. Il n'y a pas de miracle. Ou alors j'ai mal compris l'énoncé.

Si on veut un nombre plus petit qu'une borne N, alors la base N est optimale.

@Franky1103 : Oui, bravo !

@fix33 (et tous) : Je vais essayer de reformuler mon énoncé autrement :
   Vous participez à un nouveau jeu dans un casino. On vous annonce que vous devrez trouvez un nombre entier plus petit que N.
   Pour trouver ce nombre on va vous demander de choisir une base B.
   Ensuite on vous présentera un sac contenant tous les chiffres de la base B.
   Pour chaque chiffre de l'écriture du nombre à trouver en base B on vous demendera de piocher un chiffre dans le sac. Si vous avez eu la chance à chaque fois de tirer le bon chiffre, vous avez gagnez. Sinon vous avez perdu.
  Quelle base avez vous intérêt à choisir pour optimiser vos chances de gains ?
  cogitu pense que la réponse est la base 2.

D'ailleurs cela me fais penser que j'ai oublié de préciser quelque chose :
Vous n'avez pas le droit de choisir la base 1
Sinon ce serait trop facile, le jeu n'aurait aucun intérêt (pour le casino du moins )

Oui, PRINCELEROI

En fait n'importe quelle base fait l'affaire, il suffit de choisir un nombre inférieur ou égal à N, et vous aurez tjs 1/(N+1) chance de gagner.

Je choisis la base 2, bien sûr !
Et l'avantage est d'autant plus important que le premier chiffre de l'écriture en base 10 est faible.
Par exemple, pour le nombre de 4 chiffres 1000 écrit en base 10, j'ai une chance sur 10000 de le trouver, alors que j'ai une chance sur 1024 en base 2.

Oui nodgim, c'est ça

@Jackv : On peut faire un peu mieux

Après la reformulation de la question, je reformule la réponse !

Soit C le nombre de chiffres de l'écriture de N en base B, mes chances de tomber sur le bon nombre sont de 1/(B^C). (je considère que le nombre à tirer est entre 0 et N, bornes comprises).
Je dois donc choisir une base qui minimise B^C, où C=Ent(log(N)/log(B))+1.
Dit autrement, je dois choisir une base qui limite au minimum la quantité de tirages supérieurs à N pour lesquels je suis sur d'avoir perdu.

Je vais donc choisir la base N+1 (qui me donne C=1), pour laquelle mes chances de gains sont de 1/(N+1). Je ne peux pas faire mieux puisse que j'ai N+1 valeurs de tirage possibles.
Je peux avoir le même résultat, avec une base dont N+1 est une puissance entière (l'intérêt étant seulement de diminuer la taille du sac à boules !), mais ça dépend de N, évidemment.

Exemple :
N=5 - B=6
N=6 - B=7
N=7 - B=2 ou B=8
N=8 - B=3 ou B=9
etc...

Jackv, dylasse et godisdead : Oui, bravo !