Le billard a un longueur a et une largeur b.
Posons m égal au PGCM de a et de b. Donc m=na=pb.
Pour rendre le problème concret, on suppose que la boule parcourt une diagonale d'un carré unitaire en une seconde.
Toutes les a secondes, la boule change de direction horizontale et toutes les b secondes, elle change de direction verticale. Son parcours finira au moment où elle aurait dû changer de sens horizontalement et verticalement, donc au bout de m secondes.
Si n est pair, elle aura atteint un coin gauche. Si p est pair, elle sera revenue en bas sur le dessin. On peut donc trouver des exemples pour trois des coins, en jouant sur la parité de n et de p... qui doivent être premiers entre eux. La boule ne revient pas au coin de départ car il faudrait n et p pairs.
Exemples pour les autres coins :
* en bas, à droite a=2 & b=1 ... ou a=6 & b=5 (m=30=5a=6b)
* en haut à droite a=1 & b=1 ... ou a=10 & b=6 (m=30=3a=5b)
* en haut à gauche a=3 & b=2 (comme sur le dessin)

Oui, ça termine toujours dans un coin :
En effet, la boule touche les bords en un nombre fini de positions (aux intersections du quadrillage), donc si la boule avait une trajectoire infine, elle repasserait 2 fois au même endroit avec la même direction. En repassant le film à l'envers, la boule aurait donc un comportement différent au dernier passage avant de revenir à sa position initiale, ce qui est impossible.
rem : c'est en gros le principe de Fermat du chemin inverse de la lumière.

On suppose que le quadrillage est réduit à 2 entiers premier entre eux.
Si les 2 sont impairs, on s'arrête sur le coin diagonalement opposé.
Si un est pair, on s'arrête sur le coin du coté adjacent de longueur paire.

On consdère "Bord du bas" et "Bord de gauche" comme deux axes d'un repère. On prend comme unité le centimètre.

Supposons (comme ça), que ma balle part d'un point à coordonnées entières avec un angle de 45° avec l'horizontale, le coefficient directeur de la droite suivie est 1 donc la distance parcourue est la même sur les deux axes.
- si elle tape le coté opposé à son point de départ, angles alternes-internes et principe de Descartes appliqué au billard, l'angle de départ après impact sera aussi de 45°
- si elle tape un coté perpendiculaire, la trajectoire est l'hyptohénuse d'un triangle rectangle avec comme angle droit un coin du billard. Un triangle rectangle avec un angle de 45° ? Isocèle rectangle bien sûr, et donc dans ce cas aussi, l'angle de départ sera de 45°
Conclusion 1: l'angle de la balle avec le bord sera toujours, après chaque impact, égal à 45°

- si elle tape le coté opposé à son point de départ, elle aura parcouru une longueur (ou largeur) de billard (soit un nombre entier de centimètres)
- si elle tape un coté perpendiculaire, elle aura parcouru une longueur (ou largeur) de billard moins un certain nombre de centimètres correspondant à sa coordonées de départ (soit un nombre entier moins un nombre entier, donc un nombre entier de centimètres)
Conclusion 2: partant d'un point à coordonnées à valeurs entières, la balle va parcourir un nombre entier de centimètres et arriver en un point lui aussi à coordonnées à valeurs entières.

Prenons maintenant une paire {point d'impact, direction de la balle lorsqu'elle repart}: on prend l'angle dans l'autre sens, on repart du même point, et on trouve facilement le point de départ qui a amené la balle ici.

Conclusion :
- on appelle I l'ensemble des valeurs entières positives ou nulles inférieures à la longueur du bord du bas
- on appelle J l'ensemble des valeurs entières positives ou nulles inférieures à la longueur du bord de gauche
- on appelle A l'ensemble suivant: {45, 135, 225, 315}
- on appelle B l'ensemble des points de départ ou d'impact avec leur angle de trajéctoire, il s'agit de IxJxA moins les valeurs inutiles: toutes les valeurs qui ne sont pas sur un bord, celles qui ont un angle de départ hors du billard, etc...
La fonction f, qui, à un point de départ ou d'impact avec son angle de trajectoire, associe le point suivant avec son angle de départ après impact, est une bijection de B dans B: B est un ensemble fini, à chaque élèment de B, on sait constuire un unique point d'arrivée et un unique point d'origine... (pour le principe, on dira qu'une balle qui va dans un trou repartira comme s'il n'y avait pas de trou)
Une trajectoire complete est définie par la suite U telle que U0 = f((0;0;45)) et Un+1 = f(Un)

Comme f est une bijection d'un ensemble fini vers lui même, il s'agit d'une (ou plusieurs cycles de) permutation. Ce qui est sur, c'est qu'à un moment, on finira par revenir au point de départ...

Ce qui est amusant, c'est qu'on a montré que si la balle ne tombe dans aucun trou avant, elle finira par tomber dans le trou de son point de départ, mais c'est aussi celui dans lequel elle ne tombera jamais

Je n'ai pas envie de mettre en équation toute la trajectoire alors je vais le faire avec des phrases.

Montrons que la bille atteint un coin.
Par l'absurde, supposons qu'il existe une trajectoire où la boule revient de façon périodique. Comme l'angle est à 45°, si on regarde la trajectoire dans le passé, elle va suivre le même chemin (mais dans le sens inverse) et va donc aussi être périodique ! Contradiction avec le fait que cette trajectoire du passé touche le coin bas inférieur.

Où sort-on ?
On ne peut pas sortir par l'endroit où on est rentré, car on doit pour cela repasser par son chemin à un moment et jusqu'à la fin, donc il existe un premier instant où ensuite on reprend le chemin dans le sens passé, et donc à cet endroit l'angle n'est plus de 45°, on est donc déjà dans un autre coin à cet endroit. [c'est pas très clair ça bon toute façon personne ne lira ^^]

On peut sortir par les autres côtés. Je pense qu'il faut regarder, après avoir simplifié la parité (si on a un billard 4*4 c'est pareil que de regarder un 1*1) si on est de la forme :
impair*impair
pair*impair ou
impair*pair.
On peut sûrement utiliser les symétries, mais je n'ai pas de preuve...

En espérant que certains ont calculé toute la trajectoire (c'est peut-être plus court ^^)

Je constate avec désarroi que j'ai inventé le PGCM ! Je voulais évidemment parler du PPCM qui correspond justement au nombre de diagonales unitaires parcourues par la boule

Bonjour,

Vasimolo est ce que tu peux detailler un peu plus ta solution, j'ai rien compris

Merci

Merci pour ton explication, c'est plus clair en effet même si je vois pas encore trop comment j'aurai pu y penser... peut être en faisant un dessin...

Ovni a écrit:

Merci pour ton explication, c'est plus clair en effet même si je vois pas encore trop comment j'aurai pu y penser... peut être en faisant un dessin...

NickoGecko a écrit:

Je raisonne avec un tapis virtuellement extensible dans le sens de sa longueur pour s'affranchir des symétries !

Ceci dit, je n'avais pas trouvé, et n'avais pas non plus pensé à "étendre" le tapis... mais je comprends qu'on ait pu y penser pour résoudre

Bonne mémoire... Encore une énigme à laquelle tu n'as rien répondu, mais à laquelle, a posteriori, tu as compris quelque chose. Encore un point commun entre nous

Pour l'araignée dans la pièce :
L'originale
La variante

Relis la question

Vasimolo