Merci Vasimolo (tu confirmes mes doutes sur le caractère optimal de ma précédente solution)… je vais donc reprendre en ne considérant plus le caractère pair ou impair mais la congruence à 3.
Si le coté fait 3p+1 (donc 1, 4, 7, 10, 13, etc), sur la base du triangle on ôte une boule sur trois (en commençant par le sommet), soit p+1 boules, puis 1 sur 3 sur la rangée suivante décalée pour éviter les contacts (soit p boules), puis encore 1 sur 3 sur la rangées suivantes (soit p-1 boules).
Ensuite, il nous reste le triangle de coté 3 (p-1) + 1 au dessus.
En appelant RT(p) le nombre que l’on peut retirer de cette manière, on a RT(p) = RT(p-1) + p-1 + p + p+1 donc RT (p) = RT (p-1) + 3p, avec RT(1) = 4
Donc RT(p) = 3/2 p² + 3/2 p + 1.
![http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-triboule10.JPG](http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-triboule10.JPG)
rem : cette formule marche pour les cas impairs 7, 13, 19, etc, pour lesquels le rangement spécifique aux impairs décrit plus haut donne le même résultat pour 7 (RI(3) = RT(2) = 10) mais un résultat inférieur au-delà (donc même pour les impairs j’avais faux !!!).
Pour les cas 3p ou 3p-1, (on nommera RT1 et RT2 le nombre de boules que l’on peut retirer), on part de 3p+1 et on enlève 1 ou 2 lignes.
RT1 (p) = RT (p) – (p+1) = 3/2 p² + ½ p
RT2 (p) = RT1 (p) – p = 3/2 p² - ½ p.
Au final, le tableau suivant synthétise le nombre de boules que l’on peut retirer en fonction du côté. Le ratio otées/nb boules tend vers 1/3 par valeur supérieure.
coté otées
1 0
2 1
3 3
4 4
5 6
6 7
7 10
8 12
9 15
10 19
11 22
12 26
13 31
14 35
15 40
16 46
17 51
18 57
19 64
20 70
21 77
22 85
23 92
24 100
25 109
26 117
27 126
28 136
29 145
30 155